학습이란 무엇인가? -2편

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1편에서 가장 중요한 말은 이것이었습니다

똑같은 유형이고, 똑같은 문제이며, 똑같은 방법을 풀리는 똑같은 생각을 요구하는 풀이인데, 왜 앞에 쉬운 문제는 풀었으면서, 뒤에 어려운 문제는 풀지 못하는가????

저는 이 질문을 중심으로 여러 가지 경험을 되새겨보고 상상을 해 보았습니다.

제가 다른 예시를 들어보겠습니다. 제 친구중에 서울에 대학을 간 친구가 중고등학생을 대상으로 수학 과외를 하는데요. 재밌는 일화를 말해주었습니다

여러분 ‘약수개수 구하기 문제’ 기억나십니까? 중학교때 소인수분해를 배우면서 우리는 이 ‘약수개수 구하기 문제’를 공부합니다. 약수개수 구하기 문제는 아래와 같이 해결됩니다.

(출처 : ZUM 학습백과)

풀어쓰자면, 우선 어떤 수를 소수인 인수로 분해한 다음(소인수분해), 각각 소수들의 지수에 +1씩을 하여 곱하면 됩니다.

10을 예시로 들자면 (2^1) x (5^1) 이니까 (1 + 1) x (1 + 1) = 4 이므로 10의 약수개수는 4개입니다.

친구의 이야기로 다시 돌아와서, 친구는 중학생들에게 이런 식으로 소인수분해를 이용한 약수개수 구하기 문제를 설명해 주었습니다.

그런데 여기서 문제가 생겼습니다. 항상 학생들이 10, 20, 50 같이 아주 작은 숫자의 경우에는 약수개수를 구하는 데 문제가 없었으나, 5675674와 같이(제가 임의로 높게 잡은 숫자입니다) 큰 수에 대해서는 약수개수를 구하는게 불가능했다는 것입니다.

여기서 다시 중요한 질문으로 돌아옵니다.

똑같은 유형이고, 똑같은 문제이며, 똑같은 방법을 풀리는 똑같은 생각을 요구하는 풀이인데, 왜 앞에 쉬운 문제는 풀었으면서, 뒤에 어려운 문제는 풀지 못하는가????

여러분, 10의 약수개수를 구하는 문제나, 5675674의 약수개수를 구하는 문제를 서로 다르다고 보십니까? 숫자가 달라졌으니 이 둘은 별개의 문제이며 별개의 방법으로 풀어질까요?

당연히 아닙니다. 숫자가 크건 작건 그런건 상관없습니다. 만약 내가 약수개수를 구하고 싶다! 하면 어떤 숫자가 나오든 소인수분해하고 지수들을 구하면 끝입니다. 물론 작은 수의 약수개수는 상대적으로 그 수가 적으므로 구하는데 걸리는 시간은 짧겠지요. 하지만 큰 수의 약수개수를 아예 못 구한다는 것은 문제가 됩니다. 결국에는 풀어야 할 문제임에도 불구하고, 한 문제는(쉬운 숫자 작은 숫자) 쉽게 풀면서 다른 한 문제는(어려운 숫자 큰 숫자) 못 푸는 불상사가 생깁니다.

이것은 결국 그 중학생이 작은 숫자의 약수개수를 구할 땐 ‘일일이 그냥 세서 답을 구했’기 때문입니다. 10이야 뭐 그리 큰 수도 아니니까 저도 4초만 있다면 1,2,5,10 아 4개네! 라고 말할 수 있겠습니다.

결국 이 학생의 문제는 쉬운 문제는 쉬운대로 대충 끼워맞춰서 풀고, 어려운 문제는 쩔쩔 메고 아예 접근을 못한다는 것입니다. 만약 그 중학생이 쉬운 문제를 풀 때 제 친구가 가르쳐준대로 소인수분해를 이용했다면, 그 중학생은 큰 숫자 또한 막힘없이 답을 구할 수 있었을 것입니다.

또 다른 예시가 끝났습니다. 다음 편에서는 ‘알고리즘’, ‘시냅스’ 이 두 단어에 대해 알아보도록 하겠습니다.