지구과학 II - 회합 주기 그래프 활용하기

(2023 수능특강 지구과학 II 163p)

3년째 수특에 꾸준히 나와주는 그래프이고

(2023 수능완성 지구과학 II 92페이지 1번)

이렇게 직접적으로 묻는 문제도 계속 나오고 있어요.

개인적으로 완전 좋아하고 자주 쓰는 그래프인데,

마침 9월 직전이기도 하니 스킬로 쓸 수 있게끔

이걸 살짝 더 알아보려고 가져왔어요 ^-^

I. P에 대한 그래프 그려보기

II. 가로축을 P가 아닌 a로 설정할 때

III. 기억해두면 좋을 점(Point)

IV. 사용예시(1) - 다른 행성에서 측정한 회합 주기

V. 사용 예시(2) - 그래프 모양 이용하기

이렇게 적어뒀으니 시간 없으면 필요한 부분만 읽어주세요~

I. P에 대한 그래프 그려보기

(성실한 지2러라면 다음의 두 공식이 바로 생각날 거예요)

S=회합 주기, P=행성의 공전 주기, E=지구의 공전 주기일 때,

내행성/외행성 각각을 저렇게 외우는 게 귀찮지 않아요...?

어떤 행성들이든 결국 공전 각속도 차가 관건이니

이렇게 일반화해도 괜찮아요.

년 단위로 생각하면 E=1(년)이니까 변수 하나가 줄고

여기에 역수를 취해주면 S가 P에 대한 함수로 바로 보여요.

S를 y값으로, P를 x값으로 설정하고 그려보면

여기서 P, S의 단위는 모두 (년)이에요.

그래프는 P=1, S=1을 점근선으로 가지고, 

지나는 특정한 점들이 보여요(3에서 정리할게요)

P=1 오른쪽의 그래프를 P=1에 대하여 대칭시킨 다음

2만큼 내린 그래프의 일부를 왼쪽 그래프라 생각하면 편해요!!

정석적인 이해를 다 끝냈다면 이제 문제를 풀 때 

이 그래프가 빠른 이해를 돕는 도구로 작용할 거예요.

II. 가로축을 P가 아닌 a로 설정할 때

그런데 방금 그린 그래프가

위쪽의 EBS나 교재의 그래프와는 조금 다르네요...?

여기서는 x에 해당하는 값을 태양으로부터의 거리, 

즉 공전 궤도 긴반지름으로 줬거든요.

조화법칙이 있으니 바꾸는데 별 문제는 없어요.

P=a^(1.5)이니까 아까 그려둔 그래프의 x 자리에 x가 아닌

x^(1.5)를 넣으면 되는데, 

그냥 x=1 기준으로 살짝 더 좁혀진 합성함수라 생각해주세요.

P 자리에 a^(1.5)를 대신 넣어주면

S의 단위는 그대로 (년),

a의 단위는 (AU)로 바뀐 채로 다시 그래프가 이렇게 그려져요.

가로 점근선은 그대로 S=1년이지만, 

세로 점근선은 a=1AU에요!!!!

그림에선 잘 안 보이지만 (0.5, 0.5)는 안 지나요.

자주 나오는 자료가 이거긴 한데

가로축이 a 기준인 그래프는 저도 잘 안 써서,,,

P 기준으로 푼 다음 계산할 때 가서 바꾸는 게 더 편해요

III. 기억해두면 좋을 점(Point)

수식이 이렇다보니 좌표가 깔끔히 나오는 점들이 있는데

기억해두면 대략적으로 어디에 있는 행성인지 바로 볼 수 있어요.

(바로 다음 칸에서 쓸 생각이에요)

가장 자주 쓰이는게 저 (0.5, 1)이고,

가끔 (1/3, 0.5)와 (2/3, 2), (2,2)도 알아두면 좋고

S=2인 두 공전 주기는 1:3,

S=3인 두 공전 주기는 1:2인 것도 가끔 쓰여요

식이 워낙 간단해서 어떤 점이든 금방 떠올릴 수 있으니까,

머리 잘 안 돌아갈 때 대비해서 저 점들 기억해주세요~~

IV. 사용 예시(1) - 다른 행성에서 측정한 회합 주기

그냥 공식을 대입하면 되는 걸 굳이 이렇게 그래프로 이해해두면

특정 상황에서 조금 더 쉽게 풀려요.

그 중 하나가 '다른 행성에서 측정한 회합 주기'인데,

행성 X에서 측정할 때

다른 행성과의 회합 주기는 다음의 식을 만족해요.

위에서 했던 것처럼 측정의 기준인 X를 지워버릴 거예요.

아까는 지구에서 측정한 값이라 

회합, 공전 주기의 단위를 (년)=(지구의 공전 주기)로,

E=1년으로 두고 1/E=1로 만들었어요.

지금은 단위를 (X의 공전 주기)로 두고(이하 t)

X=1(t)로, 1/X=1로 만들게 되면

단위만 바뀐 채로 식이 정말 그대로 똑같아져요.

그럼 이걸 그린 그래프도 단위만 달라진 채로

(편의상 복붙했어요)

점근선은 각각 S=1년, P=1년이 아닌

S=1t, P=1t

이렇게 될 거고 찍혀있는 점들도 다 그 단위에요

쓸만한 상황 몇 개를 가져왔어요.

[1] 2023 수능특강 지구과학 II 169p 4번

공전 주기가 A<B<C인데

회합 주기도 A<B<C라는 것에서

최소한 A, B는 확실히 X를 기준으로 내행성임이 보여요

그런데 A가 내행성임을 알면,

나머지 자료들은 거의 필요가 없어요 ^-^

'공전 주기는 A<B<C<D이다.' 대신 

'공전 주기는 A<X이다' 하나만 줘도 풀리는 문제였어요.

A의 공전 주기를 P_A,

X와 A의 회합 주기를 S_A라 하면

단위를 (X의 공전 주기)로 뒀을 때 다음이 성립해요

이때 표에서 P_A : S_A = 5 : 6임을 알려줬으니

각각을 5k*(X의 공전 주기), 6k*(X의 공전 주기)로 두면 이런데,

풀면 30k=(X의 공전 주기),

P의 공전 주기가 5k=100일이니까

X의 공전 주기는 600일이네요!

이제 계산을 더 할 필요가 없어요.

B와의 회합 주기가 600일 = X의 공전 주기인데

(회합 주기)=(X의 공전 주기)인 유일한 점이 (0.5, 1)이네요.

바로 B의 공전 주기가 X의 반, 300일임이 보여요

그럼 C는 당연히 외행성일테고,

D는 그보다 공전 주기가 길어 ㄴ은 4200보다 작네요.

그래서 답이 5번으로 별 걱정 없이 바로 나와요.

[2] 2022 수능완성 지구과학 II 실전모의고사 5회 16번

행성은 아니지만, 다른 예시로

(0.5, 1)이라는 점을 떠올리면

여기서 ㄴ을 보자마자 맞출 수 있어요.

[3] 2022 수능완성 지구과학 II 실전 모의고사 4회 15번

회합 주기는 어쨌든 공전 각속도 차에서 생기는 것이니까

A에서 측정한 C의 회합 주기 = C에서 측정한 A의 회합 주기

B에서 측정한 C의 회합 주기 = C에서 측정한 B의 회합 주기

이 두 식이 성립하는데,

공전 주기는 금성<목성<해왕성이니까

확실히 C가 목성은 아니고,

0.64, 0.617이라는 거의 비슷한 값을 내기 위해선

아무래도 A, B가 그래프의 오른쪽 멀리에 위치해야 할 것 같네요.

그래서 C가 금성인게 금방 생각날 거고

그 중 회합 주기가 더 짧은 B가 해왕성임을

눈으로 바로 알 수 있어요.

V. 사용 예시(2) - 그래프 모양의 활용

아까 잠깐 적었던 내용 중 하나가

(P=1 오른쪽의 그래프를 P=1에 대하여 대칭시키고

2만큼 내린 그래프의 일부를 왼쪽 그래프라 생각하면 편함)

이었는데 

이거 쓰면 편한 문제가 지금 다른 시험지에 들어가 있어서,,,

예제를 가져오진 못하고,

그냥 P=1 왼쪽 기울기가 오른쪽보다 가파르단 것을 이용하면

생각보다 의외로 빠르게 잘 풀리는 경우가 있어요.

막힐 때 한번쯤 생각해봐요!

끝

크게 어려운 과목은 아니지만

16시 넘어서 푸는 시험이다보니 ㅠ

지2는 절대 제정신으로 볼 수 없다고 생각해요.

그래서 어이없는 실수가 많이 나올텐데,

그럴 상황을 대비해서 이런 계산 줄이는 스킬이나

Plan B, C, 필요하면 E까지도

간단하게 알아두면 좋을 것 같아요~

(지질도 문제도 눈풀/단면도/3D 그림 다 준비해주세요!!)