[박수칠] 수학 B형 변별력 문제 풀려면 기본 개념/유형부터 다지세요~
수학이 A형, B형으로 바뀐 2014학년도 수능부터
30번의 지수함수, 로그함수 그래프 문제가 미분법 문제로 대체되었습니다.
동시에 여러 개념이 복합적으로 적용되고, 계산 분량도 늘어났죠.
(계산 분량 측면에선 2014학년도 수능 30번이 압권 ㅡㅡd)
지수함수, 로그함수 그래프 문제는 대개
주어진 조건을 만족하는 몇 가지 그래프를 그리면서 규칙을 찾는 방식으로 접근합니다.
그래서 기본 개념/유형을 아는 것만으로는 부족하고, 비슷한 유형에 대한 연습이 필요합니다.
반면 미분법 문제는 복잡한 식이나 조건을 제시해서 수험생을 쫄게 만드는 면이 있지만,
천천히 뜯어보면 기본 개념/유형의 조합이라는 것을 알 수 있습니다.
때문에 주어진 조건과 자신이 공부했던 유형의 연관성을 떠올린다면
상대적으로 쉽게 접근할 수 있는 면이 있습니다.
그럼 2015학년도 수능 B형 30번 문제를 살펴봅시다.
함수 f(x)는 비교적 간단한 반면, 함수 g(x)는 절댓값 기호와 시그마를 섞어서 복잡하게 정의되어 있습니다.
함수 g(x)를 자세히 살펴보기 위해 시그마를 풀어쓰고, f(x)를 대입해보도록 합시다.
이제 함수 g(x)는 n개의 절댓값의 합, 차로 표현되었습니다. 그럼 절댓값 기호를 없애야죠?
많은 문제에서 연습했듯이 절댓값 기호 안의 식이 0일 때의 x값을 경계로 구간을 나눠봅시다.
그러려면 다음 방정식을 풀어야죠.
여기서 한 가지 눈에 띄는 것이 있는데 이 방정식은 k가 짝수일 때 실근이 없습니다.
그리고 k가 짝수면
이 성립하기 때문에 k가 짝수인 절댓값은
다음과 같이 절댓값 기호가 저절로 없어지면서 실수 전체의 집합에 대해 미분가능한 꼴이 됩니다.
따라서 함수 g(x)가 실수 전체의 집합에서 미분가능하려면
k가 홀수인 절댓값만 남겨서 만든 새로운 함수
가 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수면 되겠네요.
(여기서 2m-1은 n보다 같거나 작은 최대의 홀수라는 점도 챙겨둬야죠.)
그리고 k가 홀수일 때는
이기 때문에 x=-1일 때를 경계로 구간을 나눠서 함수 h(x)의 함수식을 정리하고, 도함수 h’(x)를 구하면 다음과 같습니다.
x < -1일 때
x > -1일 때
따라서 함수 h(x)는 x < -1일 때와 x > -1일 때 미분가능하고,
실수 전체의 집합에 대해 미분가능하려면 x=-1일 때도 미분가능해야 합니다.
그러려면 먼저 함수 h(x)가 x=-1에서 연속이어야 하죠.
함수 f(x)가 연속함수라면 함수 | f(x) |도 연속함수이듯이
연속함수들의 절댓값의 합, 차로 이루어진 함수 h(x)도 연속함수가 됩니다.
그래서 함수 h(x)는 x=-1에서 당연히 연속이 되고, x=-1에서 미분가능하게 하려면
①, ②에 x=-1을 대입한 결과가 일치하기만 하면 됩니다.
여기서 2m-1=19는 n보다 같거나 작은 최대의 홀수이므로 n의 값이 될 수 있는 것은 19와 20입니다.
따라서 답은 19+20=39가 되구요.
위 풀이 과정에 쓰인 기본 개념 및 기본 유형 풀이법 가운데 주요한 것을 나열하면 다음과 같습니다.
⑴ 절댓값 기호를 포함한 함수식의 계산
⑵ 절댓값 기호를 포함한 함수의 연속성
⑶ 합성함수의 미분법
⑷ 구간별로 정의된 함수의 도함수
함수의 연속성과 미분법을 배우면서 꼭 다루게 되는 개념/유형들입니다.
따라서 위 문제를 풀려면 주어진 조건을 이 개념/유형과 연결시켜 차근차근 풀어나가면 되는 겁니다.
하나만 풀면 섭섭하니 하나 더 봅시다.
아래는 2014학년도 수능 B형 30번 문제입니다.
조건 (나)를 바로 활용하는 것은 어렵기 때문에 조건 (가)부터 살펴봅시다.
함수 g(x)가 (이차함수)x(지수함수)의 꼴이어서 몇 번이고 미분가능하기 때문에
조건 (가)로부터 g”(1)=0, g”(4)=0임을 알 수 있습니다.
따라서 함수 f(x)를 일반적인 이차함수
로 두면 함수 g(x)와 도함수 g’(x), 이계도함수 g”(x)는 다음과 같습니다.
조건 (나)에서 얻은 방정식 g”(x)=0의 근 1, 4는 이차방정식
의 근이며 근과 계수의 관계에 따라 다음이 성립합니다.
이제 조건 (나)를 이용할 방법을 궁리해봅시다.
점 (0, k)에서 곡선 y=g(x)에 접선을 긋는 것은 미분법을 이용한 접선 방정식 유형 가운데
곡선 밖의 점에서 곡선에 접선을 긋는 경우에 해당됩니다.
따라서 접점의 좌표를 ( t, g(t) )로 가정하고, 접선의 방정식을 만든 다음 (0, k)를 대입합니다.
점 (0, k)에서 곡선 y=g(x)에 세 개의 접선을 그을 수 있으므로 곡선과 접선의 접점 또한 세 개가 나타납니다.
그렇다면 t에 대한 방정식 ①은 서로 다른 세 개의 실근을 가져야 하구요.
따라서 ①의 양변을 y로 둬서 얻은 두 함수 ②, ③의 그래프는
서로 다른 세 점에서 만나야 합니다.
이때의 k값 범위를 따지려면 함수 ③의 그래프가 필요하겠죠?
a>0라고 가정한 다음, 도함수를 구하고 그래프 개형을 그려봅시다.
따라서 두 함수 ②, ③의 그래프가 서로 다른 세 점에서 만나려면 다음 부등식이 성립해야 합니다.
이것을 (나)에 주어진 k의 범위와 비교하면 다음과 같이 a의 값과 g(x)를 구할 수 있습니다.
따라서 답은
여기서도 풀이 과정이 복잡하긴 하지만, 주어진 조건을 다음과 같은 기본 개념/유형과 연결시켜서
차근차근 계산하면 정답에 이를 수 있습니다.
(1) 이계도함수를 이용한 변곡점 찾기
(2) 곡선 밖의 점에서 곡선에 그은 접선의 방정식
(3) 미분법의 활용-방정식의 실근 개수와 함수 그래프의 교점 개수
또한 이 문제는 다음과 같은 교과서 밖의 개념을 알면 후반부의 계산이 조금 쉬워집니다.
(4) f(x)g(x) 또는 f(x) / g(x) 꼴의 함수 그래프 개형을 x절편, y부호, 점근선만으로 그리기
(5) 곡선 밖의 점에서 곡선에 그을 수 있는 접선 개수가 변곡점에서의 접선을 경계로 변함
(4), (5)와 같이 특정 유형에만 적용되는 교과서 밖 개념을 공부해두는 것도 좋지만,
어떤 문제가 나오더라도 대처할 수 있으려면 기본 개념/유형을 이용하는 방법을 터득해두는 것이 훨씬 더 좋습니다.
물론 계산 과정이 길고, 문제 푸는 시간이 오래 걸리는 단점이 있지만요...
작년 수능 난이도와 올해 보도된 평가원, 교육부의 출제 방향을 볼 때,
21번, 29번, 30번 같은 변별력 문제는 작년과 비슷하거나 조금 어렵게, 나머지 문제들은 비슷한 난이도를 가질거라 생각합니다.
그렇다면 30번 문제를 풀 시간을 충분히 확보할 수 있으니 계산 과정이 복잡할 것으로 예상되더라도
기본 개념/유형에 충실한, 일반적인 방법을 찾기만 하면, 문제 푸는 시간은 충분할거라 생각됩니다.
수능 준비를 위해 기본 개념/유형에 대한 정리를 끝내고 수능/모평 기출, 실전 모의고사 등을 풀다 보면
유형 하나하나에 집착하게 되고, 기본 개념/유형을 복습하는데 소홀해지기 쉽습니다.
그러다 보면 9월 모평쯤에 점수가 떨어질 수도 있구요.
문제 풀다가 기본 개념/유형이 부족하다 싶은 단원이 생기면 복습하고,
정리하는데 아낌없이 노력하시기 바랍니다.
수능 보는 전날까지 말이죠...
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
고려머 ㄹ황 4
-
ㄹㅇ
-
제가 누나고 남동생이 저한테 훈수 둠 1. 스카 빨리 가서 공부나 해라 2....
-
온몸에 있는 세포가 어색하다고 느끼는 부분에서 바로 넘어가지 못하고 논리적으로...
-
후 떨리는구만
-
ㄹㅇ좋을듯
-
전자랑 후자중에 4
당연히 전자가 대학 더 잘감?
-
관계 좋다 0
Equivalence relation이라는 말… 뭔가 좀 몬가몬가인 것 같음…
-
서울에서 방얻어서 재종 다니면서 살고 있는데 공부는 힘들지 않은데 그 외의 것이...
-
수학 실모가 하나도 안풀려요 뭔가 실력 문제 인것 같아서 써킷 48회차까지 다...
-
제바루 부탁ㅠㅜㅜ
-
강k 22회.. 0
17회랑 느낌이 소름돋게 유사함 순수 난이도가 어려운건 절대 아닌데 10번대를 싹...
-
쾌조의 스타트. 3
내 목표는 항상성으로 정답 12개 이상이다.
-
보니까 입시스트레스로 화풀이할 상대가 필요해서 똥 뿌리고 다니는거 같은데 그 똥...
-
현역이고 보통 모의고사 92~3 나오는데 1등급 되고 싶음 국어 공부는 아예...
-
73 84 71 50 45 남은기간 하루 1점씩 올려서 무조건 서울대 갑니다....
-
첫번째는 x->0에 다가 가니까 0의 우극한, 좌극한 해서 수렴하는 y=3인건...
-
https://orbi.kr/00061542219 작품이넼ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
-
30분 지나감 뭐지 아 뒷목땡겨
-
카페인 역치.. 0
1월쯤부터 1일 1핫식스 아니면 1커피 했더니 이제 카페인 안마시면 잠만잠 그날은
-
42점에서 막힘 이거 어캐해야함? 수능특강만 풀고 바로 들어감
-
수시는 지원 자체가 끝났고 정시요강도 다 발표났으니 안 되는거 아님? 진짜모름...
-
이감 풀면 문법 2개 매체 2개씩 틀립니다 ㅠㅠ 수능 오랜만에 봐서 아직 언매...
-
1. 이세상은 존재한다 2. 존재하는것은 원인을 가진다 3. 이세상이 존재하는...
-
19수능 우주론지문 문제인데 31번같은 물리? 문제같이 어려운 거 또나올수도있나요...
-
https://n.news.naver.com/article/022/0003973697...
-
공부 -> 학교/집 : 0원 밥 -> 학교/집 : 0원 교재비 : n십만원 (애초에...
-
지구 빈칸 퀴즈 2
웨델해에서 만들어진 (남극 저층수 / 북대서양 심층수 / 남극 중층수)는 해저를...
-
급해요ㅠㅠ전문대 수시1차 안쓰고 2차 써도 되나요? 0
급해요ㅠㅠ전문대 수시1차 안쓰고 2차 써도 되나요?
-
가고싶은 과는 일단 수의학과밖에 없어서 쩔수없이 과탐을 해야할 거 같은데 국영수...
-
킬캠 시즌1 (1~6) 96 93 96 96 92 96 킬캠 시즌2 (1~2) 96...
-
카메추 4
카페 메뉴 추천이라는 뜻이에요
-
보수 조전혁 후보만 부른 KBS TV토론..."선관위, 홍보 방송 원하나" 10
▲ 정근식 서울시교육감 후보, 여론조사 1등 후보 제외한 토론회 규탄 정근식...
-
빈순삽 문제집 0
영어 2~3왔다갔다 하는데 빈순삽에서 자꾸 막혀서 빈순삽 유형 문제집 추천 부탁드립니다
-
1페부터 시간 엄청 먹더니 3페 중반부 풀다 끝남 3페 막풀다가 싹틀리고 걍 난리남...
-
아 김종익 실모 0
자꾸 30점대 나오는거 개빧ㄱ치네
-
모든것=(이세상)+(이세상이 아닌세상) 즉, 모든것은 이세상 아니면 다른세상에...
-
스카 독방 형식으로 되어 있는 곳 사용 중인데 옆방에서 1분에 2~3번씩 킁킁거리고...
-
덕고 어따쓰는거에요 ? 현금으로 바꿀 수 있나요 ?
-
쌤들 다 좋은데 자습실엔 코고는새끼 카페테리어엔 의자 존나게 끌고 펜던지고 책상치는...
-
보정컷 아직 후하긴 한데 좀 정상화됐네
-
수1, 수2, 미적 쎈발점 + 수분감 돌리고 갈건데 “수준에 맞는” 선생님 공통 /...
-
악!
-
고2고 기출 정리하는느낌으로 공통만 풀려는데 난이도가 어느정도죠? 쉬사-어사까지 다 있나요?
-
[권희승] 근수축 문제 맞추면 스벅 (+지난문제 해설) 19
[수능 생명과학1 6회 완성]...
-
9덮 무보정 4
111112 (사문이 2...) 더프 커하네요
-
국어 점수가 진짜 롤러코스터인데 이유가 뭘까요 ,,,이감 94받았다가 쉽다던...
-
궁금한게 3
보통 정파들 내신 물어볼때 내신얼마냐고 물어보면 정시로 돌리기전 내신말하는건가
-
QED
좋은글 감사합니다
읽어주셔서 감사합니다.
수능 준비에 제 글이 도움되었으면 좋겠습니다~ ^^
하 진심 공감 진짜....
당연한 얘기지만 공부하면서 잊지 마시라고 글 올려봤어요~ ^^