6월 미적 28번 접근? 사실 2년 연속 예고됨

처음에 보자마자 들어야 하는 생각은 '뭐야 시발'입니다. 우리는 낯설고 복잡한 상황에 (정도의 차이는 있지만) 두려움을 느낍니다. 따라서 우리가 낯선 함수나 복잡한 함수에 대해 거부감이 드는 것은 자연스러운 것입니다.

일단 a*b의 값을 물었으니 이것을 한 번에 구할 수 있도록 하거나 a, b값을 각각 구할 수 있는 상황을 설계했을 것을 예상해볼 수 있습니다. (가) 조건은 항등식을 주었고 (나) 조건은 정보 하나를 주었네요!

일단 (나) 조건을 보고 있자니 f(0)과 f(2)를 이용해야할 듯합니다. 그래서 (가)의 식의 양변에 x=0과 x=2를 대입해봅시다. 오 그런데 우변이 둘 모두 a+b로 나옵니다! 그래서 얻은 두 식을 빼주고 (나) 조건과 연립해주면 다음을 얻습니다.

음.. 그럼 a, b에 관한 정보가 하나 더 있어야 a, b값을 결정해 a*b를 구할 수 있을 것 같은데.. 안 쓴 조건이 뭐가 있나 생각하며 발문을 천천히 살펴보니 f(x)가 연속이라는 조건을 주었습니다. 따라서 이를 이용할 생각을 해야합니다.

그러고보니 (가) 조건, f(x)에 대한 이차방정식입니다. 그럼 f(x) 식을 작성해볼 수가 있겠습니다.

그럼 우리는 f(x)가 둘 중 하나가 됨을 확인할 수 있겠습니다.

이때 우리는 저 루트 안에 있는 복잡한 식의 개형을 알고 있습니다. 왜냐하면 a가 양의 실수이기 때문에 안에 있는 그래프 개형만 알 수 있으면 그것에 실수배해준 것임을 통해 바로 알 수 있기 때문이죠! 그런데 안에 있는 그래프 개형 구할 수 있습니다. 복잡하긴 하지만 도함수와 이계도함수를 구할 수 있으니까요! 엄밀한 그래프를 그리기 위해서는 이계도함수를 조사해 볼록성을 표시해줄 필요가 있지만 대부분은 도함수 조사를 통한 증감 파악해서 끝나니 우선 도함수부터 조사해봅시다. (딱 봐도 이계도함수는 너무 복잡할 것 같고...)

그럼 우리는 부호 조사를 하고 싶은 것이니 부호 변화에 영향을 미치지 않는 아이들을 제거하면

라고 생각해볼 수 있겠습니다. 왜냐하면 나머지 다 0 이상이고 -3+2[cos(pi*x)]^2 만 항상 음수니까요! 그럼 저 복잡한 식의 함수는 -sin(pi*x)의 부호 변동을 따르고 얘는 구간 [0, 2]에서의 모습이 실수 전체의 집합에서 반복되는 아이니까 구간 (0, 1)에서 감소하고 구간 (1, 2)에서 증가하는 함수가 되겠습니다. 확장하면 저 주어진 복잡한 함수는 모든 정수 n에 대해 구간 (2n, 2n+1)에서 감소하고 구간 (2n+1, 2n+2)에서 증가하는 함수가 되겠죠!

그럼 다시 여기로 돌아와봅시다. f(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이라는 것은 임의의 실수 k에 대해 다음이 성립한다는 뜻이기 때문에

따라서 f(x)는 실수 전체의 집합에서 정의된 함수입니다. 그러려면 저 루트 안에 있는 것이 항상 0 이상이어야합니다. 이는 (가) 조건을 f(x)에 관한 이차방정식으로 바라봤을 때 이 이차방정식의 판별식이 0 이상이라는 것과 같은 뜻입니다. 이때 저 복잡한 함수가 구간 (0, 1)에서 감소하여 최솟값 -1를 갖고 구간 (1, 2)에서 증가하여 최댓값 1을 갖는다는 사실에 초점을 두어보면 a가 양의 실수이기 때문에 우리는 다음이 성립함을 알 수 있습니다.

그리고 앞선 판별식 논리에 따라 다음이 성립해야합니다.

그리고 나서 어떻게 해볼까 생각해보니... 처음에 f(0)과 f(2)가 특수한 숫자? 상황? 이었잖아요. 그러니 다시 여기에 초점을 두어 봅시다. 근데 f(0)>-1이고 f(2)<-1입니다. 그리고 f(x)를 두 복잡한 식을 나타내어봤을 때 하나는 -1 이상이고 다른 하나는 -1 이하였습니다. 따라서 우리는 다음을 확인할 수 있습니다.

그럼 f(x)는 구간 (0, 2)의 어딘가에서 위의 함수에서 아래 함수로 갈아타야할 것입니다. 왜냐하면 위의 함수의 치역은 -1과 -1/2 사이이고 아래 함수의 치역은 -1과 -3/2 사이이기 때문에 위의 함수로는 -3/2에 도달할 수 없고 마찬가지로 아래 함수로는 -1/2에 도달할 수 없기 때문입니다. 

저 주어진 복잡한 함수가 구간 (0, 1)에서 감소하고 구간 (1, 2)에서 증가했으며 a가 양의 실수라는 점에서 함수 f(x)는 구간 (0, 1)에서 감소하고 구간 (1, 2)에서도 감소할 것임을 예상할 수 있습니다. 그럼 감소하고 감소할 것인데 주어진 복잡한 함수가 연속함수이니 구간 (0, 1)에서는 f가 연속이고 구간 (1, 2)에서도 f가 연속임에 따라 x=1에서의 연속성만 조사해보면 되겠습니다.

따라서 a값 결정 되었으니 b값도 결정할 수 있고 ab값도 결정할 수 있겠습니다.

28번을 보며 'n축이 중요하다'라고 설명하시는 강사 분들도 있는 것 같습니다. 합성함수는 항상 합성방정식이라는 또 다른 해석 방법을 지니고 있습니다. 직접 속함수의 증감에 따른 겉함수 증감을 파악해 합성함수의 그래프를 그려 문제 상황을 해결할 수도 있지만 겉함수가 방정식을 만족하는 x값들에 대해 그 x값들과 속함수가 일치할 때의 x값을 조사하는, 합성방정식의 해를 구하는 풀이도 떠올릴 수 있어야합니다. 이는 작년 수능 22번에도 마찬가지로 적용되는 설명입니다.

저 (가) 조건을 합성함수, 기울기함수로 파악해 평균값 정리를 적용할 수도 있습니다.

혹은 직접 수식을 정리해 g(x)에 관한 합성방정식으로 생각해볼 수도 있습니다.

이제 이번 28번과 같은 g(x)에 대한 이차방정식 꼴입니다.

이후 (나), (다) 조건 적용하면 p, q값 결정해서 f(x), g(x) 결정할 수 있습니다.

이는 더 옛날 기출에서도 발견할 수 있습니다.

마찬가지로 속함수 증감에 따른 겉함수 증감 예상해서 합성함수의 그래프를 그려가며 문제 상황을 해결할 수도 있습니다.

이제 2406미28, 231122와 같은 어떤 함수에 대한 이차방정식 꼴입니다.

나형 30번이라 그런지 식은 조금 더 단순하죠?

이렇듯 어떤 함수에 대한 이차방정식 꼴은 꽤 자주 보입니다. 사실 삼차방정식도 최근에 출제된 바 있습니다.

뭐 맨날 똑같은 이야기 하고 있긴 한데... 왜 기출 분석이 중요한지는 충분히 느낌 오시죠?

쟤는 f(x)에 대한 삼차방정식을 줬으니 마찬가지로 합성방정식 해 구하기의 관점으로 접근하시면 되겠습니다. 적당히 f(x)=1 넣어보면 주어진 관계식 만족하니 조립제법 써보면

으로 주어진 식을 인수분해 해볼 수 있겠습니다. 이후는 위에 3문제랑 같은 방식 

오늘은 이렇게 2406미28의 논리적 풀이를 231122, 221112, 1711나30에 근거하여 살펴봤습니다. 학습에 도움이 되었으면 좋겠습니다!