우주론 강의 2. 우주의 밀도와 우주 모형

저번 글... 

https://orbi.kr/00064014811

1. 프리드만 방정식

프리드만 방정식은 우주가 등방성과 균질성을 만족할 때 유도되는, 우주를 지배하는 방정식이라고 할 수 있다. 

G는 만유인력 상수, rho는 밀도, P는 압력, c는 광속, H는 허블 상수, a는 척도인자이며 무차원이다. 또, k는 우주의 곡률을 나타내는 수이며 k=0이면 평탄한 우주, k > 0이면 닫힌 우주, k < 1이면, 열린 우주이다. 이때, k의 단위는 /m^2 이다. 

혹은 로버트슨-워커 계량에서 r을 무차원으로 두고, a를 m단위로 쓸 수도 있다. 이런 경우에는 k는 –1, 0, +1 중 하나의 값을 가지며, 무차원의 수가 된다. 

2개의 식을 프리드만 방정식이라고 한다. 우리는 이 중 첫 번째 식을 활용하여 몇 가지 우주 모형을 살펴볼 것이다. 당연하지만, 프리드만 방정식은 모두 등방성과 균질성을 가정하므로, 이로부터 유도되는 우주 모형들은 모두 허블 법칙이 성립한다.

2. 등속 팽창 우주

첫 번째 식에 a^2을 곱하면 다음을 얻는다. 

이 문단에서는 편의상 로버트슨-워커 계량에서 r을 무차원의 수로, a를 m단위로 생각하겠다. 이러면 k는 –1, 0, 1 중 하나의 값을 가져야 하니, 우변의 두 번째 항은 상수가 된다. 이제 등속 팽창하는 우주이므로 da/dt 는 상수이다. 좌변이 상수이기 위해서는 rho = 0이어야 할 것이다. 왜냐하면, 우주의 밀도가 0이 아닐 경우, 우변의 첫 번째 항은 우주의 크기에 따라 값이 바뀔 것이며, 우변이 상수가 되지 않는다. 따라서 이 우주는 우주에 아무것도 없는, 텅 빈 우주이다. 또한, 좌변은 양수이므로, 우변도 양수여야 하니 k = -1, 즉, 이 우주는 열린 우주임을 알 수 있다. 

정리하면, 등속 팽창 우주는 텅 빈 우주이고, 우주의 기하학적 모양은 곡률이 음수인 열린 우주이다.

3. k = 0이며, 우주의 밀도 = 우주의 물질 밀도인 우주

이 문단부터는 저번 글에서와 같이 척도인자를 현재 값이 1인 상대적 크기로, r을 m(미터)단위로 쓰겠다. 

k = 0 일 때의 밀도를 임계밀도라고 하고, rho_c 로 쓰자. 그러면 프리드만 방정식을 정리하여 다음을 얻는다.

현재는 첨자로 0을 붙여서 표기하자. 현재 우주의 임계밀도는 다음으로 쓸 수 있다.

rho_c,0은 현재 우주의 임계밀도, H_0는 현재 허블 상수이다. 

이제 밀도 변수를 다음으로 정의하자. 

우리가 다룰 우주 모형은 k = 0이므로 Omega = 1인 우주이다. 

이제부터 첨자 m을 붙인 것은 물질을 의미한다. 

이제 이런 상황에 대해서 알아볼 것이다.

k = 0 이므로 프리드만 방정식은 다음으로 쓸 수 있다.

현재에 대해서는 위 식을

로 쓸 수 있다.

우주의 총 물질은 일정할 것이므로 물질 밀도는 척도인자의 세제곱에 반비례한다. 그러므로 물질 밀도는 다음으로 쓸 수 있다. 

현재의 척도인자 a_0 = 1을 대입하였다. 이것으로 치환하면

이 된다. 이제 a로 정리하면

을 얻는다. 우주의 크기는 시간의 2/3 제곱에 비례한다. 또, 빅뱅 이후 현재 우주의 크기(a=1)에 도달할 때까지 걸리는 시간은

를 얻는다. 이것이 이 우주 모형에서의 우주의 나이가 된다. 

4. 암흑 에너지(우주 상수)를 가정하며, k = 0 인 우주

이 경우는 풀이 과정이 길기 때문에 결과만 기술하겠다. 

이 우주 모형의 경우 척도인자를 시간에 대해 미분하여 da/dt를 구해보면 그 값이 감소하다가 어느 순간부터 다시 증가하는 것을 볼 수 있다. 그래서 이 우주 모형을 가속 팽창하는 우주 모형이라고 한다. 또, 이 우주 모형의 경우 허블 상수는 항상 감소한다. 

이 외의 우주 모형은 생략함.