수열 준킬러 1분 안에 푸는 방법 (2)

과연 무조건 첫째항부터 나열하는 것이 항상 좋은 걸까요..?

또한 나열하면서도 시간과 과정을 조금이라도 단축시킬 수는 없을까요..?

등차수열이나 등비수열이 아닌 순수한 수열 문제에서,

모두가 알다시피 ‘일단 나열해놓고 보는 것’이 정말 중요합니다.

하지만, 문제의 방향성을 염두한 채로 나열하다보면 불필요한 시간을 훨씬 줄일 수 있습니다.

올해 6월 모의고사 15번입니다.

이 문제에서 모든 케이스를 구분짓는 핵심적인 요소는 의 부호입니다.

따라서 우리는 이 부호가 어떻게 전개될지에 모든 초점을 맞춰 풀이를 진행해야합니다.

먼저 모든 상황에서

으로 여기까지는 케이스를 나눌 필요가 없어보입니다.

이제 여기서부터 케이스를 나누어야합니다.

이제 k=1부터 k를 1씩 올려가며 

등의 부호에 따른 케이스를 나누어보아야합니다.

상당히 번거로운 과정이 될 것 같습니다.

그 전에 풀이를 단축시켜줄 수 있는 규칙성이 있는지 살펴보는 것이 좋을 것 같습니다.

먼저, 과연 모든 항들의 부호가 서로 독립적일까요..?

혹시나 에 숨겨진 규칙이 있는지 살펴봅시다.

위와 같이 식을 변형해보고, 이 세 가지만 놓고

각각의 경우에 어떻게 전개되는지 대략적으로만 살펴봅시다.

만약에 이라면

이므로 입니다.

즉, 음수항 다음 항이 양수항이라면 그 다음 항은 다시 음수항이 됩니다 ... ㄱ

또한,가 전부 음수라면

"어..? 그렇다면.?"

... 이를 통해, 음수항에서 양수항으로 바뀔 때까지

음수항(이후 첫 양수항도 포함)에서 각 항들끼리의 차이는 공차가 2인 등차수열임을 알 수 있습니다 ... ㄴ

마지막으로, 만약 3~6번째 항에서 0이 하나라도 나온다면

이므로 더 살펴볼 필요가 없습니다

 ... ㄷ

우리는 ㄱ, ㄴ, ㄷ세 가지를 염두한 채로 최대한 빠르게 모든 경우들을 파악해볼겁니다.

k=1일 때,이므로

성립X (- + + -) (ㄱ 활용)

k=2일 때이므로

성립X (ㄷ 활용)

k=3일 때, 이므로

성립O (- + - -)

k=4일 때, 이므로

성립X (ㄷ 활용)

k=5일 때,이므로

성립O (- - + -) (ㄱ, ㄴ 활용)

k=6일 때, 이므로

성립O (- - - +) (ㄱ, ㄴ 활용)

k=7일 때, 이므로 성립X (- - - -) (ㄴ 활용)

k>7일때도 전부  

 (- - - -)일 것입니다.

따라서 가능한 k는 3, 5, 6 뿐입니다.

우리는 나열을 하면서도, 몇가지 규칙을 미리 염두해두어 케이스를 나열하는 시간을 줄이는데 성공했습니다.

한 문제만 더 살펴봅시다. 2023년도 수능 15번입니다.

이 문제에서는, 모든 케이스를 구분짓는 핵심적인 요소는

 이 3의 배수인지 아닌지의 여부입니다.

먼저, (가)를 보고

은 3의 배수가 아니기에

일 것이라고 먼저 확정해야합니다.

(나)를 본 뒤,

이미 모두가 알고 있는 ‘일단 넣고 보자’ 식으로

먼저 대입을 해봐야 합니다.

그러나, 만약을 시작으로 전개를 하려고 하면,

너무 많은 경우의 수가 나옵니다.

그래서 보통 해설을 보면 통상적으로부터 역추적하는 방법을 사용하곤 합니다.

그러나, 현장에서 이 문제를 직면했을 때 부터 역추적하는 것은 상당히 리스크가 있습니다.

어디까지 역추적해야 문제가 끝날지

해보기 전까지는 모르기 때문입니다.

(물론 결론적으로는 5번째 항까지만 살펴보아도 답이 나오도록 문제가 설계되었지만,

저의 경우 문제를 처음 현장에서 직면했을 때 역추적이 언제 끝날지 모르는 불확실성을 회피하고자 아래와 같은 방법을 사용했습니다.)

그렇다면 우리는 어디를 시작으로 전개해보아야 할까요?

모릅니다.

무슨 소리냐고요?

우리는 어느 항들이 3의 배수를 가지는지조차 모르고,

안다고 한들 그 항에 3분의 1을 곱했을 때 또 다시 3의 배수가 나올지 아닐지조차 모릅니다.

그래서 우리는,

3의 배수이면서, 1/3을 곱했을 때 더 이상 3의 배수가 아니게 되는 어떤 항을

k번째 항이라고 가정해놓고,

라고 설정한 뒤 거기서부터 나열해보는겁니다.

이렇게 설정해놓은 뒤 라고 하면, 문제없이 1~k번째 항은 자연수가 되므로 ‘모든 항이 자연수인가?’에 대해서도 걱정할 필요가 없습니다.

이제 에서부터 전개해보면

... 5항 주기로 반복됨을 알 수 있습니다.

이므로, 40이 1, 4, 5의 배수임을 고려해보면

또는

또는

을 만족할 것입니다.

k=4일 때,

그러므로

k=5일 때,

그러므로

k=6일 때,

그러므로

따라서의 최댓값과 최솟값의 합은 224입니다.

순수한 귀납적 추론을 요구하는 수열 문제에서

‘나열하면서 규칙 확인해보기’는 필수입니다.

그러나, 단순히 아무 생각없이 나열하는 것 보다는

상황에 따라 어떤 식으로 흘러갈지 대략적으로 추측해보고,

부호 / 3의 배수 여부 등 문제의 상황을 가르는 핵심 요소에 집중하여 이와 관련된 성질을 미리 파악하고

나열을 시작하면 훨씬 문제를 푸는 과정과 시간이 단축됩니다.

그렇다고 해서, 귀납적 추론을 요구하는 문제에서 ‘규칙을 반드시 찾고야 말겠어’라는 생각으로,

나열을 하지도 않은 채 모든 규칙을 찾아내려고 무모하게 시도하는 것은 오히려 시간 낭비일 수 있으므로

귀납적 추론을 베이스로 깔고 가되, 언제나 문제의 방향성을 염두해 둔 채로 수열 문제에 접근했으면 좋겠습니다.

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