[이동훈t] 6월 심층분석 (전문항)

2025 이동훈 기출

https://atom.ac/books/11758/

안녕하세요. 

이동훈 기출문제집의 

이동훈 입니다.

오늘은 6월 모평

전문항 심층분석을

해보겠습니다.

이번 시험의 특징이라면 ...

(1) 공통 9, 10, (11), 12, 13 번에서

계산량을 최소화 했어야

뒤에 (준)킬러 문제들을 풀 

시간적인 & 정신적인 여유를 

얻으셨을 것 같고요 ...

(항상 만점 받는 분들이야 상관없을텐데 ...

어설픈 1등급 하단 이하 분들은

심리적으로 어렵습니다. 이런 시험은.)

(2) 공통 12번에서

평가원이 대놓고

ㅆㅂ죽어 

했는데요 ..

뭐 ... 이렇게 노골적으로

전형적인 풀이에 엿을 먹인건 ...

거의 처음이지 않은가 ...

이런 문제는 덜 다듬어졌다고

말하는 분들도 있긴 한데 ...

다른 문제들이 

상당히 잘 컨트롤 된 것을 보면 ...

실수라기 보다는

전형적인 풀이의 범위에 대한 실험을 

해본 것이 아닌가 하는 ...

생각이 듭니다. (아래의 글 참고)

[이동훈t] 6월 12번 (전형적인 풀이의 범위?)

https://orbi.kr/00068418354

그런데 뭐 ...

6월은 수능이 아니니까 ...

수능은 좀 더 보수적인 시험이니까 ...

2025 수능은

괴작이 아닌 걸작일 것으로

믿쑵니다 ~!

이제 본론 들어가실까요 ?

밑을 5로 통일하고 지수법칙을 적용

다소 계산의 복잡도가 있어서 ...

(일부의 분들의 경우)

연달아 계산실수를 하게 되면

첫 문제 부터 꼬일 수 있습니다.

이런 점들을 좀 노렸다 ...

볼 수 있겠고요.

미분계수의 정의 + 도함수의 계산법

교과서 예제 수준의 계산 문제.

문제를 읽고 나서 ...

시그마(an+bn) = 시그마an + 시그마bn, 

S6 = S5 + a6

위의 두 가지가 바로 보여야 합니다.

만약

이 문제가 바로 풀리지 않은 분들은 ...

시그마 계산이 어려울 때는 모두 전개한다.

이 한 문장을 기억하시면 됩니다.

뭐 ... 평가 목적이 그러한 것이니까요.

좌극한, 우극한에 대한 교과서 예제.

곱한 함수의 미분법에 대한 교과서 예제.

a-b = -(b-a)

(이 문제에서는 theta-90도 = -(90도-theta))

위의 등식이 수능에 출제되지 않는 해는 없습니다.

매우 중요한 등식(식변형)이죠.

각 사분면에서의 삼각함수의 부호,

sin^2 + cos^2 = 1

위의 두 가지를 결합하여

답을 내면 됩니다.

삼차함수의 그래프와 직선이

서로 다른 두 점에서 만나는 상황도

거의 매해 출제되는 주제입니다.

a6, a7(=a6*r), a8(=a6*r^2)

이므로

문제에서 주어진 두 번째 등식이 

r에 대한 이차방정식임을 

눈으로 확인할 수 있어야 하고 ...

a1*a2 = (a1)^2*r < 0 (필충) r < 0 (단, a1 != 0)

위의 필충 조건도 쉽게 보였어야 하고요.

함수의 연속에 대한 정의를 적용하면 되는데 ...

A^2 = B^2 (필충) A=B 또는 A=-B

위의 필충 조건이 자연스럽게 떠올라야 합니다.

이 문제의 경우 A, B의 부호가 같을 수 없으므로

A=-B

의 한 경우만이 가능하지요.

만약 A^2, B^2 을 전개하면

계산량이 늘어나기 때문에

맨 위에서 적은 필충 조건을

반드시 적용해야 합니다.

외접원, 사인이 보이므로

사인법칙을 적용하는 것은 당연하지요.

다만 (나)에서 코사인이 보인다고 해서

바로 코사인법칙을 적용하면

아무래도 계산량이 많습니다.

0 < B, C < 180도 일 때,

cosB=cosC (필충) B=C

위의 필요충분조건이 바로 보였어야 합니다.

(왜냐하면 함수 y=cosx 는 

구간 [0, pi] 에서 단조감소 이기 때문입니다.)

9번, 10번 모두 어떻게 접근하였는 가에 따라서

계산량에 차이가 있고,

이는 다른 문제 풀이에 걸리는 시간 & 집중력에

영향을 주기 때문에 ...

9번, 10번에 오는 비킬러

(이지만 접근법에 따라 계산량이 많을 수 있는)

문제들을

정확하고 빠르게 푸는 것은

고득점을 받는 필요조건이고 ...

출제자가 본 것, 

출제자의 마인드, ...

를 읽는 연습은 

(준)킬러 뿐만 아니라 

비킬러를 접근할 때에도

중요합니다.

미분계수로 주어진 조건에서

f(a) = 1, f ' (a) = 3

이므로

곡선 y=f(x) 는 점 (a, 1) 을 지나고, 

이 점에서의 접선의 기울기는 3 이다.

여기까지의 해석은 바로 나와야 하고 ...

a의 값을 구한 이후에는

f(x) = x^3 + px^2 + qx

에 대입하여 p, q 의 값을 구하면 됩니다.

교과서 연습문제 수준의 전형적인 문제이고, 

계산량도 적절하여, 

평가 목적이 잘 지켜진 문제라는 생각이 듭니다.

이번 시험에서 논란이 있었던 문제이죠.

아래의 글을 참고하시길 바랍니다.

[이동훈t] 6월 12번 (전형적인 풀이의 범위?)

https://orbi.kr/00068418354

위의 문제를 보고 ...

아래의 문제가 생각나지 않았다면 ...

기출에 대한 연습이 부족하구나 !!!

반성하시오 !!!

아래 문제 : 곡선과 x축이 만나서 생기는 도형의 넓이

위 문제 : 곡선과 직선이 만나서 생기는 도형의 넓이

(고급지게 보면

아래 문제 + 수평화 = 위 문제

이렇게 되는 거죠.

수평화는 2025 이동훈 기출에서

여러 차례 설명하는 개념입니다.)

아래 문제를 변형할 때,

교과서의 서술 체계를 적용한 것이고 ...

(교과서 보시면 곡선&x축 다음이 바로 

두 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이(정적분))

이런 식의 문제 변형이야 말로

가장 기본적(고전적)이고,

아름다운 것이라 ...

말하고 싶습니다.

수능에 출제되는 문제들은

대부분 위와 같이

교과서의 서술 체계에 입각하여

변형되었다고 보셔도 무방합니다.

(문제 만들어 보신 분들은 아시겠지만

이렇게 하지 않으면

개조잡쓰레기 문제만 나옵니다.)

다만 수험생들이 이런 프로세스를

잘 알아보지 못할 뿐이겠죠.

9, 10, (11), 12, 13 번들은

계산량을 어떻게 하면 줄일 수 있겠는가 ?

를 평가하고 있다고 볼 수도 있습니다.

여전히 논쟁적인 12번을 제외한

9, 10, 13 번에서

전형적인(정확한) 풀이를 적용하지 못하여

빠른 계산을 하지 못했다면 ...

수능에서도 고득점을 얻기는

상당히 어려울 것입니다.

이는 단순히 계산 실수가 많아요 ...

의 영역이라기 보다는

문제를 정확하게 해석하는 능력,

더 나아가 출제자의 관점에서 문제를 바라보는 능력

이 부재 한 것이라고 볼 수 있습니다.

평가원 기출을 여러 회독 하면서

문제를 정확하게 독해하는 연습을

꾸준히 하시길 바랍니다.

딱 보면 ...

뭔가 별스러운게 있는가도 싶지만 ...

붉은 칸 안의 문장을

log2... - log4... > 0

으로 두면

로그 부등식의 전형적인 문제임을

알 수 있습니다.

이처럼 문장을 식으로 바꾸는 것은

수능에서 자주 출제되고 있습니다.

진수의 조건과

루트 안은 음이 아닌 정수이다. 

라는 두 조건에 의하여

1 <= n < 15, n < 75/k

의 두 부등식을 유도할 수 있고,

로그부등식을 풀면

1 <= n < 10+k

가 유도됩니다.

k 는 자연수이므로

k=1, 2, 3, 4, 5, 6, ... 

을 대입하면서

위의 세 부등식을 연립하면

n=1, 2, 3, ... 12

가 되는 k의 값을 구할 수 있습니다.

이때, 직선 y=10+k 와 곡선 y=75/k 의

위치 관계를 꼭 따질 필요는 없어 보입니다.

참고로 ...

루트A 가 주어지면 A >= 0 이고.

이 문제의 경우에는 진수가 0 일 수 없으므로

A > 0 이어야 합니다.

수능에서는 

절댓값, 루트, 진수, ... 등을 주고

부호를 결정 & 판단 하는

문제가 매해 출제되고 있으므로

이에 대해서

꼼꼼하게 정리해두어야겠습니다.

준킬러 문제가 오는 15번 답게 ...

구간에 따라 정의된 함수의 미분가능성,

단조 증가 함수와 도함수의 부호,

수평화로 다항함수의 방정식 유도

(곡선-직선=다른 곡선)

정적분의 부호와 피적분 함수의 부호의 관계,

집합의 연산 (교집합과 합집합의 구분),

곡선이 지나는 영역과 점의 결정, 

삼차함수의 증가감소와 도함수의 부호, 

이차방정식의 근의 분리,

절댓값의 부호 판단,

...

등이 물리적으로 결합된 문제입니다.

부피가 좀 크죠 ?

그 만큼 아는 것이 많을 수록

본인의 풀이 설계 대로

자연스럽게 풀릴 것입니다.

안정적인 1등급(or만점)을 원하시는 분들이라면

위에 설명한 주제들이 결합되었다는 것이

문제를 풀면서 자연스럽게 떠올라야 합니다.

그렇지 않고

어떻게든 비비면 풀리겠지 ...

하면 곤란합니다.

특히 수능이라면 더더욱 그러하겠지요.

위의 네 개의 상자에서 나온 결과들의

교집합으로 함수 g(x) 의 그래프 (=방정식)이

결정되는데요. 

(가) : 붉은 상자 + 초록 상자

함수 g(x)는 단조증가 하는 함수이다.

즉, x>k 일 때, f(x) 는 단조 증가하는 함수이다.

곡선 y=g(x) 는 점 (k, k)를 지나고,

이 점에서의 접선의 기울기는 2이므로

f(k)=k, f ' (k)=2

을 알 수 있다.

이때, 수평화를 이용하면

f(x) - (2x-k) = (x-k)^2 * (x-alpha)

함수 f(x)의 방정식은

곡선-접선 = 새로운 곡선 의 

관점에서 접근하는 것이

가장 출제 의도에 가까운 것이

아닌가 하는 생각이 듭니다.

(나)로 넘어가기 전에 ...

x>k 일 때,  f ' (x) >= 0 

임을 판단해야 한다. 

라는 생각이 들어야 합니다.

(나) : 보라 상자 + 푸른 상자

보라 상자에서 g(t) 가 지나는 영역을 A, 

푸른 상자에서 g(t) 가 지나는 영역을 B

라고 하면 A 교집합 B 를 해야 합니다.

이 과정에서 A 합집합 B 를 하거나,

교집합의 연산을 잘못 하면

곤란하겠지요.

보라 상자 

(필충)

x > 0 일 때, g(x)*{ |x(x-1)| + x(x-1) } >= 0

x = 0 일 때, (정적분) = 0

x < 0 일 때, g(x)*{ |x(x-1)| + x(x-1) } <= 0

(필충)

x > 1 일 때, g(x)*(양수) >= 0 이므로

g(x) >= 0

0 < x < 1 일 때, g(x)*0 >= 0 이므로

g(x) 의 부호를 판단할 수 없다.

x < 0 일 때, g(x)*(양수) <= 0 이므로

g(x) <= 0

푸른 상자에서도 마찬가지의 방법으로

x < -2 또는 x > 1 일 때, g(x)의 부호는 판단할 수 없다.

-2 < x < 1 일 때, g(x) <= 0 

이제 두 상자의 교집합은

x > 1 일 때, g(x) >= 0

x < 1 일 때, g(x) <= 0

여기까지의 과정은 좌표평면에

영역을 색칠하면서 해야 하고 ...

함수 g(x) 는 연속함수이므로

g(1) = 0

즉, 곡선 y=g(x)는 점 (1, 0) 을 지난다.

를 얻게 됩니다. 

한편 곡선 y=g(x) 는 

점 (k, k) 를 지나는 동시에

증가함수 이므로

k > 1 이고, 직선 y=2x-k는 

점 (1, 0) 을 지나야 겠지요.

여기서 k=2 를 얻습니다.

이제 함수 f(x) 의 방정식은

f(x) = (x-2)^2 * (x-alpha) + 2x - 2

이고 ... 

f ' (x) = 3x^2 - (2alpha+8)*x + 4alpha + 6

의 대칭축의 x 절편이

2 보다 크거나 같은 경우

2 보다 작은 경우

로 나누어 이차방정식 f ' (x) = 0 의

근의 분리를 해주면 됩니다.

이때,

대칭축, 경계에서의 함숫값, 판별식

세 가지를 살펴보는 

전형적인 풀이를 적용하는 것입니다.

배울 것이 매우 많은 문제이고 ..

이 문제에서 적용된 이론들을 

꼼꼼하게 정리해두면

수능날 

매우 유리할 것이라고 생각합니다.

이 문제에서 다양한 주제들을

컨트롤하는 능력을 보면

12번이 

실수로 엉성하게 출제되었을 가능성은 

상당히 낮아 보입니다.

그러니깐 ...

12번은 출제 실수가 아니라 ...

여러분의 상태를 테스트 해본

거라고 봐야 합니다.

교과서 예제 수준의 로그 방정식 문제.

밑을 같게 해주면 되겠죠.

부정적분에 대한 교과서 예제.

자연수의 거듭제곱의 합과 

시그마의 성질을 적용하는

교과서 연습문제.

위의 그림처럼

속도 v(t) 의 함수의 그래프를 그린 후에

t=0 에서 t=3+k/4

까지 정적분을 하면 됩니다.

이 과정에서 

이차함수 위의 의미있는 점들을 연결해서

반달 모양의 도형들을 만든 후에

이차함수의 넓이 공식

S=|a|/6 * (beta-alpha)^3

을 이용하면

정적분 계산 없이

빠르게 계산이 가능합니다.

이처럼

이차함수의 경우에는 ...

사실상 정적분의 공식을 쓸 일이

거의 없지요.

그리고 ... 

위의 그림에서 

점 (0, 2) 는 y절편 이기 때문에 찍는 것이고,

점 (1, 2) 는 이차함수 v(t) 의 대칭축이

x=1/2 이기 때문에 찍은 것입니다.

이 정도의 점 찍기 능력은

갖추어야 문제가 잘 풀립니다.

가장 먼저

a, b 가 서로 독립이라는

사실을 파악했다면

a, b 에 대한 5*5 표를 만들어야

하겠지요. 

즉, a=1 일 때, b=1, 2, 3, 4, 5

a=2 일 때, b=1, 2, 3, 4, 5

...

a=5 일 때, b=1, 2, 3, 4, 5

이 25 개의 경우에 대하여 

각각 해보시면 되는데 ...

a의 각각의 경우에 대하여 

b가 특정 값을 넘어가면 

동일한 기하적 상황이 연출되므로

사실 따져야 하는 

경우의 수는 25개 보다는 훨씬 적습니다.

그리고 

a+b 의 최솟값은 2, 최댓값은 10 이므로

a+b = 2, 3, 4, ..., 10

a+b 가 2, 3, ... 인 경우

a+b 가 10, 9, 8, ... 인 경우

를 우선적으로 따져주어도 됩니다.

아 ... 그런데 ...

고대시대 문제 중에서

그 어떤 기출문제집에도 수록되지 않고 있는 ...

(무한집합을 배우지 않으므로)

아래의 문제가 올해 저의 PICK 입니다.

무한집합은 유한집합으로 바꾸고 ...

역함수를 좀 더 보이도록 구성하되

집합의 연산(교, 합)이 좀 더 까다롭게

하면 좋은 문제가 나올 것 같습니다.

사차함수의 그래프의 개형에 대한

전형적인 문제입니다.

(나) 에서 

극값의 개수가 1 개인 그래프와 

2 개인 그래프 중에서 

후자를 선택하게 하였으며

(이건 매우 중요한 성질이죠.)

3 개의 그래프의 개형 중에서

선대칭 그래프는 제외시켰습니다.

(선대칭이면 k가 최솟값 갖지 않음)

a의 최댓값이 2,

k의 최솟값이 8/3,

f(0)=0, f ' (1)=0

의 조건들을 함께 생각하면

좌표평면에서 사차함수가 지나는 영역을

(대략적으로) 알 수 있습니다.

f ' (x) = 4(x-1)(x-2)(x-alpha) 로 두고

부정적분 한 후,

f(0)=0, f(2)=8/3 

을 이용하여 alpha, C 에 대한

연립방정식을 풀면 됩니다.

이처럼 ...

그림으로 접근해서 수식으로 마무리 하는

풀이 과정은 전형적이라 말할 수 있습니다.

그리고 ... 

그래프 개형 그릴 때,

지나는 영역 표시,

지나는 점 표시 (특히 절편),

x축 & y축 결정,

...

등은 수학2 & 미적분 문제에서

매우 중요한 평가 목표 입니다.

올해 수능에서도 출제될까요 ?

100 % 

나옵니다.

꽤 많은 분들이 

그 외의 경우 에서 

당하신 것 같은데 ...

(A 교 B)^C = A^C 합 B^C 

이므로 

(행) 루트n 이 자연수인 경우, 아닌 경우

(열) an이 양수인 경우, 아닌 경우

인 테이블이 머릿 속에 그려저야 합니다.

즉, 집합의 연산과 명제가 

결합된 문제인 것이죠.

그런데 좀 ... 

문제의 표현이 세련되지 않았다는

생각을 지울 수 없긴 합니다.

이 문제는

마디가 있는 수열 + 수형도 그리기

의 유형에 속합니다.

(보통은 마디가

등차수열, 등비수열, 거듭제곱, ...

등이 출제되는데.

이번에는 거듭제곱이 출제되었군요.)

붉은 상자의 조건에서

수열 {an} 의 마디가 

n=1^2, 2^2, 3^2, 4^2, ... 

임을 알 수 있어야 하겠고요.

15, 14, 13, 12, 11, 10 은 제곱수가 아니므로

a10, a11, a12, a13, a14, a15 는 각각

-4, -3, -2, -1, 0, 1 입니다.

이제 

a9 > 0, a9 <= 0 의 두 경우로 나누고,

각각에 대하여 다시

a4 > 0, a4 <= 0 의 두 경우로 나누어서

수형도를 그려나가면 됩니다.

(총 4개의 케이스 구분)

어렵다고 볼 수는 없지만 ...

이런 문제는 검토하는데 

시간이 그 만큼 소요되므로

답을 맞히는 것이 

생각보다 쉽지 않습니다.

같은 것이 있는 순열의 수의 

교과서 예제.

여사건의 확률 교과서 예제.

이항정리 교과서 예제.

조건부 확률에 대한 문제이므로 ...

붉은 선으로 문장은 둘로 구분하고

전자는 분모, 후자는 분자에

오게 하면 되겠지요.

(분모) = 중복순열의 수

(분자) = n(A합B) = n(A) + n(B) - n(A교B)

이때, A는 문자 a가 1개 포함되는 경우,

B는 문자 b가 1개 포함되는 경우.

이런 문제를 풀 때에는

표본 공간의 각 근원 사건이

발생할 확률이 같은 지를

반드시 확인해야 합니다.

이 지점에서 문제가

어렵게 변형 가능합니다.

자연수의 부분집합의 원소들의 합에 대한 문제는

이 합의 최대값, 최솟값을 먼저 생각해야 합니다.

이 문제의 경우에는

1+2 = 3 (최소), <- 문제 풀이에서는 사용하지 않음.

5+6 = 11 (최대)

이므로, 5 와 6 이 이웃하지 않게 배열하는

원순열의 수를 구하면 됩니다.

이때, 5 와 6 이 이웃한 경우의 수를 구해서

전체의 경우의 수에서 빼면 되겠지요.

동전 뒤집기에 대한 기출은 꽤 많은 편이고 ...

이 문제는 큰 변형 없이, 

수형도의 크기만 다소 큰 편입니다.

앞면을 H, 뒷면을 T 라고 하면

H, H, H, T

모두 앞면이 보이는 경우

(1) T 를 5 번 뒤집기

(2) T 를 3 번 뒤집기 + H 를 2 번 뒤집기

(3) T 를 1 번 뒤집기 + H 를 4번 뒤집기

(4) T 를 1 번 뒤집기 + H, H 를 각각 2번 뒤집기

모두 뒷면이 보이는 경우

(1) H 를 3번, 나머지 H, H 를 각각 1번 뒤집기

(2) H, H, H 를 각각 1번, T 를 2번 뒤집기

생각해야 하는 케이스가 6 개 이므로

이를 빠짐없이, 중복되지 않게

찾는 것은 쉽지 않긴 합니다.

경우의 수 또는 확률 문제의 경우

기존 기출에 큰 변형을 가하지 않고

수형도의 크기, 케이스 구분의 크기를

조금 크게 하는 것만으로도

변별력 있는 문제를 만들 수 있으므로

평소에 꼼꼼하게 세는 연습을

해야 할 것입니다.

사실 별 것 없는 문제인데요.

문장으로 주어진 상황을 수식으로 표현하여

계산을 잘 한다.

이게 다 ... 인 문제이고.

이런 문제를 보면 ...

확통은 그렇게 까지 

어렵게 문제를 출제하고

있지는 않음을 ... 

알 수 있습니다.

그래서 포기 하지 않으면

확통 선택 8 문제는

모두 맞힐 수 있습니다.

조건 (나)에서 중복조합의 수 임을

바로 알아야 하고 ...

그렇다면

조건 (가)는 제한 조건일 것입니다.

(다 써야 한다는 말이고요.)

(가) : f(-2)+(-2) 가 -2, -1, 0, 1, 2 중의 하나 이므로

f(-2) != -2, f(-2) != -1 이다.

마찬가지의 방법으로

(말 그대로 다 써야 합니다!)

f(-2) != -2, f(-2) != -1, 

f(-1) != -2, 

f(1) !=2, 

f(2) !=1, f(2) !=2

(나) : 2 >= f(-2) >= f(-1) >= f(0) >= f(1) >= f(2) >= -2

이제 다음의 세 케이스로 구분이 가능합니다.

(1) f(-2) = 0 인 경우

전체 경우의 수에서 

f(-1)=-2 인 경우를 제외.

(2) f(-2) = 1 인 경우

전체 경우의 수에서 

f(-1)=-2 인 경우와 

f(2)=1 인 경우를 제외.

(3) f(-2) = 2 인 경우

전체 경우의 수에서 

f(-1)=-2 인 경우,

f(1)=2 인 경우,

f(1)!=2, f(2)=1 인 경우

를 제외.

이때, 빼먹거나, 중복해서 

세는 경우가 없도록 해야 합니다.

확통 마지막 경우의 수 문제 답게

전체 케이스 구분은 3개 이지만

각각의 케이스가 다시 2~3 개의 

케이스로 나누어지고 있고,

이 과정에서 

빼먹거나, 중복해서 셀 

확률은 높아질 것입니다.

등비수열이 포함된 수열의 극한 문제.

0/0 꼴에서 더 이상 계산이 가능하지 않으므로

분자, 분모에 각각 2^n * 3^n 을 곱해서

inf/inf 꼴로 바꾸어야 합니다.

음함수의 미분법에 대한 교과서 예제.

급수와 일반항의 관계에 대한 교과서 연습문제.

전형적인 문제이고, 

딱히 깊게 살펴볼 식 변형은 없습니다.

지수함수, 로그함수의 극한과

좌표평면(고1)이 결합된

전형적인 문제.

계산 과정에서 

A>0, B>0 일 때,

루트A/루트B = 루트(A/B)

을 할 수 있는가 ?

를 묻고 있는데요.

루트 안에 식(수)를 집어 넣을 때,

부호에 대한 판단을 정확하게

해주어야 합니다.

이 문제는

이 부분에서 까다롭지는 않았습니다.

문제에서 주어진 점을 모두 찍으면

위의 그림과 같고 ...

점 A 에서 x 축에 수선의 발 H 를 내리는 것은

문제 구조상 

AC : AB = OH : HB

가 보이기 때문입니다.

(그렇지 않더라도

왠만하면 내리는

수선의 발이긴 하지요.)

이 문제는 두 개의 전형적인 풀이가 존재하는데.

짧은 풀이:

두 직각삼각형 COB, AHB 에서 닮음비를 적용한다.

(계산량 적음)

긴 풀이:

두 점 사이의 거리 공식을 적용한 후

분자, 분모를 각각 통분하여 공통 인수를 제거한다.

(계산량 많음)

이 문제는 누가 보더라도

기하적 성질을 적용하는 것이 출제 의도입니다.

역함수와 연속성 (붉은 상자),

역함수의 미분법 (푸른 상자)

가 물리적으로 결합된 문제입니다.

이처럼 각각 따로 출제되던

두 개 이상의 전형적인 문제를

결합하여 신문항을 만다는 것은

평가원의 오래된

출제 방식 중의 하나 입니다.

t 를 inf -> -inf 까지 변화시키면서

g(t) 의 값의 변화를 관찰하면

위의 그림과 같습니다.

이런 상황은 평가원 기출 또는 교사경 기출에서

상당히 자주 다뤄진 바가 있고요.

g'(f(a+2)) / g'(f(a+6))

의 계산을 할 때, 

분자, 분모 각각의 값을

구해서 나눠야 한다. 

라는 점을 파악해야 하고.

(즉, 분수 전체의 값을 

한꺼번에 구하는 것이 아님.)

분자의 경우에는

역함수의 미분법을 적용할 필요 없이.

g'(f(a+2)) = (문제에서 주어진 직선의 기울기의 역수)

임을 바로 알 수 있어야 합니다.

왜냐하면 평가원 시험에서는

같은 계산을 반복시키지 않는 경우가

대부분이기 때문이지요.

이제 역함수의 미분법을 적용하면

t > 4e^a 일 때, 역함수의 정의에 의하여

f(g(t))=t 이므로

f(p)=4e^a 인 p (>a+2) 에 대하여 

x > p 일 때, g(f(x))=x

(즉, f(g(x))=x, g(f(x))=x 에서

두 x가 속하는 정의역은 다릅니다.

이걸 평가한 것이고요.) 

역함수의 미분법에 의하여

g ' (f(x)) * f ' (x) =1

g'(f(a+6)) = 1 / f ' (a+6)

이 됩니다.

풀이 과정에서

역함수의 정의와 성질 (고1)

에 대한 정확한 이해를 하고 있는지를

판단하고 있는

좋은 문제라는 생각이 듭니다.

이 문제에서 다루는 기하적 상황

즉, 단조 증가 함수를 자르고 붙여서 

(이 과정에서 평행이동, 대칭이동 적용)

미분가능한 새로운 곡선을 그리는

문제는 상당히 자주 출제된 바 있습니다.

그래서 30번이 아닌 29번 이고요.

위의 그림처럼

함수 f(x)가 단조증가하므로

f ' (0) = f ' (1) = 0

인 두 점 (0, f(0)), (1, f(1)) 이 맞붙어야 함을

바로 알 수 있어야 합니다.

그렇게 되도록

곡선의 일부를 평행이동, 대칭이동하여

두 곡선을 붙이면 됩니다.

이 문제를 읽고 나서

아래의 두 문제가

떠올라야 합니다.

30번 : 곡선 y=tanx 와 곡선 y=1/10 * x^(1/2) 의 교점

교점 조건 : 

tan an = 1/10 * (an)^(1/2)

근사 조건(점근선) : 

an (근사) (2n-3)pi/2, an+1 - an (근사) pi

G038 : 곡선 y=tanx 와 직선 y=n 의 교점

교점 조건 : 

tan an = n

근사 조건(점근선) : 

an (근사) (2n-1)pi/2

H221 : 곡선 y=tanx 와 직선 y=x+pi/2 의 교점

교점 조건 : 

tan an = an + pi/2

부등식 : 

ㄴ에서 an+2 - an > 2pi

위의 세 문제는

교점을 처리하는 방법, 

두 항 사이의 관계를 이끌어내는 방법, 

...

등이 유사하기 때문에

이를 손으로 익힌 분들이라면

어렵지 않게

30번을 해결했을 것으로 생각합니다.

삼각함수의 덧셈정리,

함수의 극한 계산에서 

루트 밖의 식을 루트 안으로 넣는 계산, 

최대 차수만을 남기는 빠른 계산, ...

등도 그렇게 어렵지는 않습니다.

벡터의 상등에 대한 교과서 예제.

이차곡선 위의 점에서의

접선에 대한 교과서 예제

중심이 A 이고, AB 가 반지름인 원 위의 점 P,

중심이 B 인 동심원(들)

이 식에서 바로 보여야 합니다.

두 원의 위치 관계, 

원 위의 점과 원 밖의 점 사이의 거리의 최소최소,

...

상당히 자주 수능에 출제되고 있습니다.

쌍곡선의 점근선에서 

a, b 의 관계식을 유도하고,

점 P 의 좌표를 

모두 a 를 이용하여 표현한다.

위의 두 생각이 

손으로 풀기 전에 들어야 합니다.

위의 그림과 같이

포물선의 정의, 타원의 정의, 직사각형의 정의

를 이용하여 길이가 같은 선분을

모두 표시해야 합니다.

(이때, 붉은 선분의 길이는 푸른 선분의 길이의 3/2 배)

직사각형 넓이가 주어진 조건에서

직각삼각형을 찾아서

피타고라스의 정리를 사용할 확률이

높다는 것을 미리 알아야 하고 ...

위의 그림처럼 직각삼각형을 찾아서

피타를 적용하면 됩니다.

문장과 식으로 주어진 상황을

그림으로 그려야 하는데 ...

보라상자에서

AP = QP - QA

를 유도하는 것도

세 개의 벡터 AP, QA, QP 를

모두 그리고 나면

자연스럽지만 ...

단순히 수식에서

시점을 모두  Q 로 통일시킨다.

라고 보기는 조금 힘들긴 합니다.

(즉, 수식 만으로는 설득력이 좀 떨어지죠.)

| PQ | 가 보이면

(1) 중심이 P 또는 Q 인 동심원을 그린다.

(2) | PQ |^2 을 전개한다.

이때, 벡터의 크기를 고정시키거나, 

각의 크기를 고정시킨다.

이렇게 두 가지의 생각을 하게 되는데...

(2)에서 벡터의 크기를 고정시키면

움직이는 각이 2 개 이상 나오게 되므로

사실상 풀이가 매우 힘들게 됩니다.

따라서 (1)로 접근할 수 밖에 없는데 ...

이등변삼각형의 성질에서

| PQ | = | AQ |

점 A를 중심으로 동심원을 그려나가면

위의 그림처럼 벡터 AQ의 크기가 최소가 되는

점 Q를 결정할 수 있습니다.

(두 원의 위치 관계)

벡터의 크기 + 원의 정의

+ 이등변삼각형의 정의 + 두 원의 위치 관계

로 푸는 문제인데 ...

풀고 나면 쉽지만 ... 

시험장에서는 잘 보이지 않을 수 있습니다.

교과서의 기본 개념 만으로도

충분히 어려운 문제를 만들 수 있다는

예에 해당하는 문제입니다.

.

.

기벡 문제 중에서

그림을 (주지 않고)

그리게 하는 문제들은

생각보다 난이도가 낮은 경우가 많습니다.

이 문제가 그 예에 해당하지요.

보라 상자 안의 식을 풀면

x^2/a^2 + y^2 = 1 (단, -1<=y<=1) (타원)

x^2/a^2 - y^2 = -1 (단, |y|>=1) (쌍곡선)

위의 두 이차곡선이 유도됩니다.

절댓값을 벗길 때,

루트 안의 수의 부호를 주의해야 하겠고요.

두 도형을 그리면 다음과 같습니다.

타원의 정의에서 두 점 C, D 가 

초점임을 알 수 있고,

이때, 피타고라스의 정리를 이용하면

c의 값을 구할 수 있습니다.

쌍곡선의 방정식에서

두 점 A, B가 초점임을 알 수 있고,

쌍곡선의 정의를 이용하면

삼각형 ABQ의 둘레의 길이를

구할 수 있습니다.

일단 위의 그림과 같이

쌍곡선과 점근선을 모두 그려야 합니다.

포물선을 그릴 때, 

반드시 준선을 긋는 것처럼

쌍곡선을 그릴 때에는

점근선을 함께 그려주는 것이 필요합니다.

(물론 점근선이 아예 안쓰인다는 것이 확인되면 

꼭 그려야 하는 것은 아니겠습니다만.)

이 문제는

마지막 단계에서 

점근선을 반드시 생각하도록

구성되어 있긴 한데요.

점근선을 그리지 않으면

매력적인 오답과 조우하게 되는

문제가 충분히 출제 가능하므로

주의해야 겠읍니다.

붉은 상자에서 비례식을 유도하면

| F'Q | : | QP | = 5 : 1+| FP |

그런데 쌍곡선의 정의에 의하여

 | F'P | - | FP | = 6

이므로

| F'Q | : | QP | = 5 : | F'P | - 5

그런데 

| F'Q | + | QP | = | F'P |

이므로

| F'Q | = 5

즉, 점 Q 는 중심이 F' 이고

반지름의 길이가 5인 원 위에 있습니다.

이때, 원 위의 모든 점은 아니고

위의 그림처럼 일부 입니다.

(점근선으로 결정됩니다!)

비례식에서 

k 배를 해서 계산을 할 수도 있겠지만

위와 같이 식 변형이 보였다면

꼭 그래야 하는 것은 아니겠죠.

점 A가 중심이 F' 이고 반지름의 길이가

5인 원 위에 있음을 파악했다면

| AQ | 의 최댓값은 이 원의 지름의 길이

임을 알 수 있습니다.

.

.

.

6월 모평 치루신 

모든 수험생 분들 수고하셨습니다.

다음에 또 알찬 칼럼으로

찾아오겠습니다.

그 때까지 

당분간

안녕 ~

ㅎㅍ~

2025 이동훈 기출 사용법 (+실물사진)

https://orbi.kr/00066537545

2025 이동훈 기출 실전 개념 목차 

(참고로 2025 이동훈 기출은 수분감 + 뉴런 포지션 입니다.)

https://orbi.kr/00066152423

[이동훈t] 학습법, 수학 칼럼 링크 모음 ('23~'24)

https://orbi.kr/00066979648

고1 평가원 기출문제집 (PDF 무료 배포)

https://orbi.kr/00065355303

2025 이동훈 기출

https://atom.ac/books/11758/