페아노 공리계 질문
n의 다음 수 라는 것에서 n은 자연수여야 하는것 아닌가요?
지금 자연수를 정의하는 과정이라서 n은 자연수 라고 쓰기도 좀 그렇고
만약 실수 전체에서 n+가 존재한다면 1.5+=2.5라고 할 수도 있잖아요
1.5+=2.5 '자연수의 덧셈'을 이용한건데 자연수 집합에 1.5가 있다고 한다면 모순이 없는것같아요
다음 수 라는건 뭐죠?
1.5가 자연수라고 정의했을때 페아노 공리계에서 우리가
직관으로 자연수라고 생각하는 것(1, 2, 3..)들 이외의 것들도 자연수라고 할 수 있나요?모순이 있는것같은데
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페아노 공리계에서 1은 항상 자연수에 포함되어 있다는 전제 하에 n의 다음수인 n+는 항상 n+=n+1로 정의되니 귀납적으로 1+=1+1=2로 정의된 거라 보시면 돼요
글쓴이께서 처음부터 1.5를 자연수라 하기로 하셨었다면 공리계가 그렇게 짜였겠죠?
공리라는 게 말 그대로 누군가가 내린 수학적 지침이라는 거라 글쓴이 분 생각대로 해도 큰 모순은 없습니다. 다만 이미 짜여진 공리계가 그럴 뿐인 거죠
페아노 공리계에선
5번
1.5가 n에 들어긴다는 증거가 없으니까 n에 넣을 수 있는 것은 이미 확실하게 정해진 1뿐,
그리고 귀납적 정의로 1, 2, 3..을 n에 확실하게 넣을 수 있게 되므로 N={1, 2, 3, ...}이 되는 건가요?