[박재우T] 다르부 정리와 도함수의 연속성
안녕하세요 박재우 T입니다.
라스트 스퍼트 강의 시작했습니다.
저를 아는 학생들 모두 라스 선택하면 후회없을 거라 확신합니다.
열심히 달려봅시다.
이제 본론으로 들어가서
이전에 한 번 언급했던 적이 있었습니다.
도함수가 연속인지 아닌지 모르는데 도함수에서 사잇값 정리를 쓸 수 있느냐는 문제입니다.
결론부터 얘기하자면 쓸 수 있다 입니다.
물론 이와 같은 주제와 연관된 과거 기출문제는 수업시간에 다루면 안되겠죠 ?
당위성을 위해서 설명해야 하는 것이 대학과정 개념이라면 출제해서는 안됩니다.
그냥 쓸 수 있다라고 단정하고 지나가는 것도 물론 안되구요.
그래서 저는 강의에서 롤의 정리에 대해 많이 강조합니다.
암튼
도함수가 불연속일 수 있음에도 도함수에서 사잇값 정리를 쓸 수 있다는 것을
가능하게 해주는 것이 바로 다르부 정리입니다.
한 번 알아보도록 하죠.
우선 함수 중에서 미분가능하지만 도함수는 불연속인 함수로 거론되는
대표적인 함수가
입니다. 이 함수는 x=0에서 미분가능하지만 도함수는 x=0에서 자명하게 불연속입니다.
이 함수의 경우처럼 도함수가 불연속인 함수는 사잇값 정리를 도함수에서 제약없이 막 쓸 수가 없겠죠
이제 다르부 (Darboux) 정리에 대해 알아봅시다.
<Darboux 정리>
함수 f(x)가 폐구간 [a, b]에서 미분가능하고 구간 양 끝점인 a와 b에서의 미분계수가 다르면
f'(a)와 f'(b) 사이의 임의의 값 k에 대해서 f'(c)=k 를 만족시키는 점 c가 개구간 (a, b)에서 존재한다.
아래 부분은 스킵해도 됩니다. 관심있는 분들만 보셔도 됩니다.
이제 증명 한 번 해보면
인 경우를 생각해봅시다.
폐구간 [a, b]에서 정의된 함수
라 정의하면 명백히 g는 폐구간 [a, b]에서 연속이면서 미분가능합니다.
그러므로 연속성의 정리에 따라 g는 [a, b] 위에서 최솟값 g(c)를 갖습니다.
즉, [a, b] 에서의 모든 x에 대하여
를 만족시키는 c가 폐구간 [a, b]에서 존재합니다.
그런데.
이 되므로 함수 g(x)는 x=a에서 감소상태에 있습니다. 그러므로
를 만족하는 점 d가 폐구간 [a, b]에서 존재합니다. 이제 마찬가지로
이 되므로 함수 g(x)는 x=b에서 증가상태에 있습니다. 그러므로
를 만족하는 점 e가 폐구간 [a, b]에서 존재합니다.
따라서, 점 c는 개구간 (a, b)에서의 원소이고 구간에서 g(c)는 최솟값이므로
구간 내에서 극대, 극소를 갖고 미분가능하면 자명하게
즉,
입니다. 같은 방법으로
도 증명해볼 수 있습니다.
이러한 이유로 정의한 구간 내에서 f의 도함수가 연속함수가 아닐 지라도 연속함수의 경우와 마찬가지로
f의 도함수에 대한 사잇값 정리가 성립함을 알 수 있습니다.
머가 먼지도 모르겠고 그냥 그렇다고 하니깐 쓰자라는 것 보다는
아예 애시당초 이런 문제는 안 내는 것이 상책이라 생각합니다.
그래서 롤의 정리가 수능에서는 더욱 더 깊이 있게 다가오는 것이 아닐 까 생각합니다.
물론 요즘은 잘 안나오는 주제이긴 하지만서두요.
아래 기출 문제를 한 번 봅시다.
다들 아시겠지만 여기 ㄷ지문은 롤의 정리가 더 좋지 않을까요 ?
두서없는 글 죄송합니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
9평은 13, 30틀 입니다 이때까지 뉴런, 드릴3,4, 이해원1, 실모 약...
-
안녕하세요 지방대 간호학과 23학번으로 재학하다가 반수 결심해서 공부한지 3개월정도...
-
수1 개념 다 하고 수2 하는중인데 수1도 챙기면서 해야되나요? 수1은 까먹은거...
-
안녕하세요! 자이오노스입니다. 저는 2023 수능을 위해서 여러가지 학습자료를...
-
수능황이신분들 1주일동안하는거좀 댓글로적어주세요
-
안녕하세요. 멘티님들 오늘은 3명의 멘티님들이 질문한 부분들이 비슷한 부분이 많아서...
-
선택과목은 언매 기하 화1 지1 국어 - 선택: 말본바탕 풀이 - 공통: 간쓸개...
-
여태까지 자신이 계획적인 사람인 줄 알았지만 공부를 하다보니 계획을 세우면 다하지...
-
국어 유대종 풀커리----- 매일 인강 2-3개 봄 마더텅 (독서) ----- 매일...
-
국어 : 김동욱T 현강 풀커리 수학 : 미적분 = 박종민t , 수1, 확통 =...
-
가진것 킬캠시즌1 1~7 시즌2 1~2 (이미다함) 양승진 1~4 장영진모의 신승범...
-
이제 9평도 수능도 얼마 안 남은 시점 뭘 쓸까 고민을 많이 해봤고 쓸 내용도...
-
안녕하세요 Art149입니다 슬럼프에 관한 칼럼과 연관되는 부분이 꽤나 많으니...
-
국어 - 수능 국어의 정석 3.0 완강 수학 - 정승제 개때잡 수학2, 미적분1...
-
작년 국수영사 2422 이번 반수ㅎㅎㅋ쿠ㅜ 지금 국 영 수 사 2 2 7 2 시간씩...
-
국어 3~4등급 나비효과 인강안듣고 자습으로 개념이랑 이원준 1+3원칙 입문편 병행...
-
9월 학평 오답정리 하고, 이전 오답노트 취합해서 과목별로 틀렸던것만 다시 복습...
-
몇주째 이것했다 저것했다 다 깔짝대기만 하고있네요 ㅠㅠ... 국어 연계교재+마닳...
-
공부계획 시간?양? 10
현역인데 공부계획을 시간으로해야할까요? 아니면 양으로 해야할까요?
-
독재생 하루 과목별 배분 시간 적정량이 어느정도죠? 3
독재생 입니다. 계속 앉아서 공부를 해오곤 있는데 하다 보니 잘 하고 있는가 걱정...
-
모의고사 풀면 75점정도 나와요.. 3등급 밑바닥 정도요 제가 실전모의고사가 신승범...
-
현역 이과생입니다. 앞으로 수능치기까지 계획 꼭 좀 봐주세요 ㅠㅠ 1
1.국어 마닳이 배송되면계속 마닳 무한 반복으로 국어공부2.수학자이스토리...
-
문과 고3입니다.여름방학 보충을 열심히 하고 있는데여름방학동안에는 체계적으로...
-
* 28일 내에 극복해야할 취약점들1. 언어 과학기술 제재 -> 과학기술 제재가...
첫번째 댓글의 주인공이 되어보세요.