[박재우T] 안녕하세요
안녕하세요. 박재우T 입니다.
라스합시다 ^^
오늘은 과거에 쓴 글인데 세월이 좀 지나서 도움이 되는 내용이라 다시 한 번 재업을 합니다.
요즘은 기하 문제에서는 어려운 공간도형 문제는 잘 안나오죠 ?
물론 아직 활자화되지 않아서 예상 난이도가 어렵다 안 어렵다 단정지을 수는 없지만
과거보다는 쉬워진 것은 확실합니다.
공간도향 문제에서 정사영이 갖는 여러가지 측면의 솔루션들 중 과거에 썼던 괜찮은 정리를
다시 한번 소개하고자 합니다.
아래 부분은 과거에 올렸던 부분과 동일합니다.
수학이나 물리같은 과목들은 어떠한 공식이 있을 때 그 구조를 유심히 들여다 보는
습관이 매우 중요합니다.
대부분의 학생들은 미적분으로부터 왔다고들 얘기할 겁니다.
아닌가요 ?
그렇다면 미적분 이전까지의 사람들은 어떻게 이 공식을 얻어냈을까요 ?
특별히 천년전의 초기 그리스나 이집트 기하학자들은 어떻게 ?
수학자들의 역사들을 보다보면 재미있고 유용한 발견들을 볼 수 있습니다.
이제 이 공식을 얻게 되는 한가지 방법을 소개할 까 합니다.
비록 이 방법이 처음이라고는 볼 수는 없겠지만 다른 여타 흥미로운 것들 못지않게
좋은 방법이라고 생각합니다.
먼저 원리하나 소개할께요.
* Cavalieri의 원리 *
같은 높이를 갖고 각 높이에서 단면적이 같은 두 물체의 부피는 같다.
이 원리를 이해하기 위해서 매우 큰 두 입체 (피라미드 같은)를 생각해 보시기 바랍니다.
각 높이에 대해 들어가 있는 가로세로높이 모두 1짜리인 벽돌들을 생각해보시면
모양이 서로 다르더라도 같은 개수가 사용되어 졌다고 할 때 전체 부피는 당연히 같겠죠 ?
당연 빈 공간이 없이 채워진 상태겠지요.
이제 구의 부피를 얻기 위해 이 원리를 적용해 보겠습니다.
먼저 두개의 입체를 생각해 볼텐데요
반지름이 r인 구 S와 높이가 2r이고 밑면의 반지름이 r인 직원기둥에서
위 아래 두 개의 대칭 원뿔을
뺀 도형 두 개를 생각해볼께요
그림이 엉망이지만 그려서 한 번 보겠습니다.
여기에 이제 카발리에리의 원리를 적용해 보겠습니다.
같은 높이에서의 단면적이 같고 동일한 높이를 갖는 입체이므로
두 입체의 부피는 같습니다.
오른쪽 도형의 부피는 직원기둥에서 두 원뿔의 부피를 뺀 것이므로
그래서 구의 부피가 저렇게 나온다는 것을 알 수 있습니다.
모양과는 무관하게 각자 생각을 독창적으로 할 수 있다는 게 중요합니다.
이해가 좀 되셨는 지요.
그런데 사실 이 원리는 이러한 특수한 형태의 입체의 부피를 구하는 것 뿐만아니라
평면 상의 특정한 영역의 면적을 구하는 데도 사용되어질 수 있답니다.
단면적이 A이고 높이가 1인 기둥의 부피는 A 그러니까 단면적과 같습니다.
물리에서 이런 경우를 많이 적용하는 것을 아는 분들도 많이 계실겁니다.
암튼 이런 방법을 이용하여 면적을 한 번 구해보겠습니다.
물론 미적분을 알고 있다면 쉽게 얻을 수 있겠죠.
미적분 없이 설명은 그럼 어떻게 할 수 있을까요
오른쪽 그림의 꼭지점 표현이 원점에 있는 것 처럼 오해의 여지가 있어서
아래쪽에 다시 그려 놓았습니다.
이해 되셨나요 ?
왼쪽과 오른쪽은 두 입체의 동일 높이에 해당하는 x축의 좌표에서
동일한 단면적을 갖습니다.
피라미드가 되는 것은 x좌표와 y 좌표가 (c, c/2) 로 바뀌어서
직선이 되는 것은 아실겁니다.
그래서 두 입체의 부피는 같고 오른 쪽의 피라미드의 부피랑 비교하면
이때 왼쪽 입체의 밑면적을 xy평면으로 다시 생각한겁니다.
도형의 모양과는 관계없이 생각해 낼 수 있다는 것, 그러니까 쉬운걸로 바꿀 수 있다는
것이 강점입니다.
예전에 이런 문제가 나온 적이 있었죠.
기억나시나요 ?
어때요 ? 적용 가능하시나요 ^^
열공하고 좋은 결과 꼭 있길 바랍니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
두개 난이도가 각각 어떻게 되는지 알려주실 분 계실까요.. 수2 설맞이 다 풀어가고...
-
4규 설맞이 0
이번 9모 공통 1틀입니다 점수는 84고 확통에서 3개 날라갓습니다 공통 4규랑...
-
사진을 안 올렸었네 10
-
[배포예정]올수능 비문학 지문과 문제구조 동일성에대해. 1
베라 쌤입니다. 올해 6,9평의 지문구조 문제구조 동일성에 알려드리고, 올해...
-
둘 중에 뭐살까 5
-
약대 군대 문제 0
현재 약대 지망하고 있는 재수생입니다 보통 약대는 군대를 가는 방식이 대학생활중에...
-
후....
-
연계 교재 알려주세요 인강컨 포함해서
-
배송 왔다 4
-
더프 성적 0
9월 더프 외부생 응시했는데 혹시 외부응시 하신 분들 성적표 받으려고...
-
계산실로 2개 나가고 66인데 왜 2등급임 ㅅㅂ ㅋㅋㅋㅋ
-
개맛도리 큐티 수정 테이프 앙
-
총정리과제 독서 리트 지문들 꼭 풀어봐야할까요? 계속 풀어보곤 있는데 기출 풀때랑...
-
논술 수험표 2
흑백으로 뽑혔는데 되겠죠?
-
물가가 계속해서 오르는 비밀은 돈의 양이 많아졌기때문이다 돈의 양이 많아지면...
-
나도 가고싶다
-
이제 난 영어는 2
6모 수준으로 나와도 1받을 자신 있음 ㄹㅇ 기출도 안보고 1주 1실모만 설렁설렁...
-
공부한 개념을 매번 까먹게 되는건 어케하시나요 현역인데 계속 앞단원이 휘발되니까...
-
물리 무보정 1컷 50이네.. 엥간히 쉽긴 했는데 물리 지구 수능이였으면 각각 47 42 예상합니다
-
16시간 잤오 9
중간에 잠시깨긴햇는데
-
ㅉㅉ 가려움 4
아… 공부하면서 가려우니 계속 만졌는데 급현타오네
-
일단 본인은 대통령배출+고빠라서 고경이긴함
-
언미물2화2 무보 3144 보정 2122 보정화2 1컷 42 너무하다진자 ㅜㅜ...
-
사설 푸는데 문학 감 잃은거 같은데 기출 복습 할까요? 2
독서는 원래 못했는데 이감 5-는 문학 1,2개 빼고 다맞았는데 파이널2들어오니깐...
-
9덮으로 고대 낮과 희망을 준다고 ㅈ되네 역시 시험은 불이어야
-
대남풍선 2
개많은데 전쟁수준으로 위험한거 아닌가
-
엥 무보 1컷 80이네 11
84점을 맞아버린 ww 더프 무보정 수학 1은 처음 받아 봄
-
섹후땡내한 4
젠장또킨텍스야
-
노트를만들던실수만모아서암기하던몇달박아도실수가잡히지가않으니점수는터지고원래못푸는건n제를풀...
-
이사 고민중인데 가면 번아웃씨게올까여.
-
적당한 준킬러 추천 해준 사람 1000덕 지금까지 푼 건 드릴 1~5 커넥션...
-
솔직히 사탐선택자도 생명,지구과학 선택자도 물리1과 화학1 1,2,3등급 맞는...
-
맨날 쪽지로 논술 독학 어떻게하냐는 질문들이 들어오길래 얼마나 있는지 궁금해서......
-
https://orbi.kr/00069301993/%EC%98%81%EC%96%B4%...
-
이거 뭐임? 9
시발 뭔 ㅋㅋㅋㅋㅋ
-
이해원S1가 제일 쉽고 그 다음순서는 어떻게 됨?
-
여려분 괜찮아요 13개월 뒤면 다시 수능이 찾아와요 1
라고 마음편하게 올해 수능치는게 실제 점수 향상에 도움될수도 있어
-
오르비허수특 7
개념기출 탄탄함 적어도 기본은 잘 되어있음ㄷㄷ 모의고사 1,2띄우고 가끔 3뜸
-
고2 쌩노벤데 이미 망한건가
-
22틀 96 아니 22왜틀리지 확실히 앞에 1,2보단 훨씬 할만한듯
-
80점맞았는데 수능이었으면 2등급 가능한 점수있가요?
-
2025학년도 정시 전형 - 서울여대, 동덕여대, 덕성여대 0
안녕하세요, 나무아카데미입니다! 어느덧 수능이 두 달도 채 안 남은 가을이...
-
수꼭필 상하 끝나면 사설로 넘어갈거같은데 두분중에 누가 더 좋을까요 미적이고...
-
?무보정? 국어 1 수학 3 영어 1 생윤 1 사문 1 ?보정? 수학만 2로
-
다인자랑 비분리 둘 중에 하나만 버린다면 뭘 버려야할까요? 지금 수능 기조가 어느...
-
"성적표에 등급으로 4나 5가 1개라도 찍혀 있을 것" "동시에 1이 2개 이상으로...
-
존나재밌어보이는데 예시문제는
-
원래 동네 일반 치과에서 뽑을라했는디 어렵다고 나중에 뽑자했는데 자꾸 머리아프고...
이런 좋은 칼럼 항상 감사드립ㄴㅣ다!