2024년 양서고 수학2 중간시험 해설

#1

눈을 똑바로 뜹시다!

#2 

다항함수 조건이 주어졌을 때 위와 같이 식을 작성해보는 것은 기본입니다.

때로 저러한 형태의 함수를 생성함수라고도 부릅니다.

작성 후 (가) 조건에서 최고차항 계수, 차수 결정짓고

(나) 조건으로 나머지 결정하시면 되겠습니다. 

이것이 실수 전체의 집합에서 미분 가능한 함수 f(x)의 뜻이며

다항함수는 이를 만족하는 종류의 함수 중 하나입니다.

위의 논리에 따라 함수 f(x)가 x=a에서 미분 가능하다면

함수 f(x)는 x=a에서 연속임을 알 수 있습니다.

#3

인수분해 각이 보이지?

혹은 분모와 분자가 모두 x=1에서 미분 가능하고

0을 함숫값으로 가지는 것을 알기 때문에

각각에 미분계수의 정의를 적용할 수도 있겠습니다.

물론 이는 수학2 범위를 지난 (2015 개정 교육과정 기준)

미적분 범위의 '합성함수 미분법'을 학습해야 받아들일 수 있기에

생략하겠습니다.

#4

전형적인 문항입니다.

고등학교 교육과정에서는 독립 변수가 1개인

1변수함수만을 다루기 때문에 보기 어려운 조건식일 수도 있는데

그래서 우리는 2변수함수처럼 보이는 (가) 조건을

1변수함수로 바라볼 시도를 해볼 수 있습니다.

(나) 조건과 묻는 값에 모두 미분계수가 존재하니

미분계수에 관한 생각을 해보기 위해 도함수의 정의를 떠올려보십시다.

이때 f(x)는 실수 전체의 집합에서 미분 가능한 함수이므로

f'(x)가 임의의 실수 x에 대해 수렴해야 합니다.

즉, [f(h)+3]/h가 h가 0으로 갈 때 수렴해야 합니다.

따라서 f'(x)을 완전하게 작성할 수가 있습니다.

(f(x)에 대하여)

#5

그래프 그렸으니 이제 y=x+k 움직여봅시다.

이제 ㄱㄴㄷ 하나씩 판단해보시면 됩니다.

연속의 정의는 우극한, 좌극한, 함숫값 존재하고 셋 모두 같다 입니다.

엄밀한 정의는 다음과 같습니다.

생각해보면 2015 개정 교육과정 기준 부등식을 재밌게 다루는 부분이

고등학교 1학년 때 공부하는 수학(상) 부등식 단원이 유일한 것 같은데

이것이 대학교 1학년 때 공부하는 함수의 극한의 엄밀한 정의 (입실론-델타 논법) 로

이어지는 부분이 매력적으로 다가오기도 합니다.

#6

좌표평면에서의 함수 y=f(x)의 그래프와 함수 y=g(x)의 그래프의

교점의 x좌표는 x에 관한 방정식 f(x)=g(x)의 실근과 같습니다.

두 점 A, B 중 더 왼쪽에 있는 점을 A라고 합시다.

점 A_1과 B_1은 각각 점 A와 B를 y축에 대칭이동한 것이니

y좌표는 같고 x좌표의 부호가 반대일 것입니다.

(대충 A가 A, B가 A_1, C가 B, D가 B_1인 상황)

사각형 ABA_1B_1은 사다리꼴입니다.

따라서 사다리꼴의 넓이 공식 (평행사변형 2개를 이어붙여 절반 구하는) 에 따라

네 점을 지나는 원은 직관적으로 살펴볼 때...

y축에 대칭일 것이므로 원의 중심은 y축 위에 있을 것이고

선분 A_1B의 수직이등분선은 이 원의 중심을 지날 것이므로

(중학도형, 원에서 현의 수직이등분선은 원의 중심을 지난다)

선분 A_1B의 중점 M을 구하고 직선 A_1B의 기울기와 곱해서 -1이 되는

(두 직선 수직 조건, 기울기의 곱이 -1)

기울기 값을 구하여 이 직선이 점 C를 지날 것이라고 설정할 수 있겠습니다.

놀랍게도 원의 중심은 t값의 영향을 받지 않는 정점이었네요!

이후 원의 반지름을 구하여 넓이를 구해주면

정답을 구할 수 있었습니다.

논리 자체가 어렵진 않은데 계산이 복잡했고

따라서 집중해서 실수를 막거나

한 번 실수 한 다음에 빠르게 어디에서 잘못 되었는지를 찾는 것이

도움이 될 수 있었을 것입니다.

검토를 잘 하기 위해선 처음 풀이를 작성할 때 논리 정연하고

또박또박 작성해두는 것이 도움이 될 수 있습니다.

#7

시험지의 첫 번째 추론 문항입니다.

교과서 혹은 학교에서 다루었던 자료에

직접 연계가 되어있었다면 답만 내고 넘어가면 되지만

그렇지 않았다면 후순위로 미루고 푸는 것이 나았을 것이라 생각합니다.

우선 (가) 조건부터 정리해줍시다.

두 가지 이상의 경우가 발생하여

머리를 복잡하게 만들 때는

경우를 분류해주면 됩니다.

하나씩 고려해주면 됩니다, 굳이 한 번에 양자역학적으로

바라보려 하실 필요 없습니다.

먼저 a>0이고 b=2일 때를 살펴보십시다.

대충 이런 느낌으로 그래프가 생깁니다.

앞선 5번 문제와 마찬가지로 k를 열심히 움직여봅시다.

때로 이렇게 한 시험지에

비슷한 사고 과정이 쓰일 때가 있습니다.

대표적으로 2022학년도 6월 시험지에서도

미적분 29번과 30번 모두 음함수 미분법으로 접근했을 때

단순 계산으로 답을 낼 수 있었습니다.

k를 움직이다 보니 곡선 f(x) 입장에서는

방정식 f(x)=x+k 가 중근을 가질 때 g(k)값이 변화하고

곡선 |f(x)| 입장에서는 방정식 -f(x)=x+k가 중근을 가질 때나

방정식 f(x)=0의 실근이 방정식 x+k=0의 실근이 될 때

h(k)값이 변화할 것임을 확인할 수 있습니다.

정리해봅시다.

함수 g(k)는 k=-1/4a일 때 불연속입니다.

함수 h(k)는 k=9/4a or k=0 or k=a/2일 때 

불연속입니다.

(나) 조건에 따라 k=3일 때 g는 연속이지만 h는 불연속이어야하므로

-1/4a는 3이 아니지만 9/4a나 -a/2는 3이 되어야 함을 알 수 있습니다.

우리는 a>0인 경우를 먼저 살펴보고 있으므로

a=3/4임을 확인할 수 있습니다.

12f(1)값은 9+24=33이 됩니다.

이제 a<0이고 b=-2일 때를 살펴봅시다.

대충 다음과 같은 상황임을 확인할 수 있습니다.

비슷한 방식으로 접근해봅시다.

k를 적당히 움직이며 직선 y=x+k와 

두 곡선의 그래프를 함께 살펴보면...

g(k)는 마찬가지로 f(x)의 그래프에 직선이 접할 때,

h(k)는 |f(x)|의 그래프에 직선이 접하거나 

방정식 f(x)=0의 해가 방정식 x+k=0의 해가 될 때

불연속입니다. 정리해봅시다.

g는 k=-9/4a일 때 불연속이고

h는 마찬가지로 k=-9/4a일 때 혹은 k=-2/a일 때 불연속입니다.

k=3일 때 g도 불연속이면 안되므로

a<0일 때에는 k=-2/a이 유일한 후보일 것이고

이때 a=-2/3으로서 a<0 조건을 만족합니다.

따라서 12f(1)값은 33 혹은 -32이므로

최댓값 33과 최솟값 -32를 더하면

정답은 1 되겠습니다.

#8

문제 조건에 따라 f와 g는 최고차항 계수가 1이고

x-1을 인수로 지니는 삼차함수 되겠습니다.

g'(1)도 F(1)도 0이 아니므로 두 삼차함수 f, g의 그래프는

점 (1, 0)을 관통할 것입니다.

제곱인수와 x축에 접하는 다항함수의 그래프 사이 관계는

한완수에서 학습 가능했습니다.

함수가 여러개이므로 단순하게 바라보기 위해서

f, g, h를 모두 표현할 수 있는 F와 G를 중심으로 접근해봅시다.

(나) 조건으로 주어진 항등식의 양변을 미분할 때는

미적분에서 학습할 수 있는 '합성함수 미분법'이 들어오긴 했는데

수학2에서는 아래와 같이 해결할 수 있겠습니다.

이제 (가) 조건의 h'(1)=4를 사용하기 위해

위에서 얻은 식의 양변에 x=1을 대입해주면 다음과 같습니다.

따라서 k_1은 5 이하의 정수일 것입니다.

이에 따라 f(2)의 최솟값은 5입니다.

k_1에 다른 제약이 걸려야 f(2)의 최댓값이 존재할텐데,

(나) 조건을 살펴보는 것 외엔 따로 할 만해보이는 것이 없으니

(나) 조건을 다시 한 번 살펴봅시다.

음~ 잘 모르겠습니다.

근데 f(2)는 자연수이고 최솟값이 5인데

최댓값과의 합으로 제시된 선지 중 가장 큰 값이

11입니다.

그럼 대충 f(2)의 최댓값은 6일 것입니다.

왜냐하면 7을 넘어가는 순간 합이 12가 넘어가기 때문에

선지에 답이 존재하지 않습니다.

일단 5번을 찍고 넘어갑니다.

#논술형 1번

1-1) 3번입니다.

부분 극한을 취할 수 없습니다.

함수의 극한의 성질에 따라

사칙연산을 진행할 때에는

각각이 수렴할 때 한 번에 lim를 분배해주어야 합니다.

1-2) 극한이나 어떤 연산을 할 때

덧셈, 뺄셈보다는 곱셈, 나눗셈이 더 도움이 될 때가 있습니다.

#논술형 2번

#논술형 3번

n이 정수이므로 x가 정수일 때의 f(x)값만

조사해보면 되었습니다.

f'(x)>0이므로 f(x)는 실수 전체의 집합에서 증가합니다.

f(1)f(2)<0이므로 사잇값 정리에 따라

구간 (1, 2) 에 방정식 f(x)=0의 실근이 존재함을 알 수 있습니다.

따라서 n=1입니다.

#논술형 4번

ㄱ은 평균변화율의 우극한이고

ㄴ은 미분계수이고

ㄷ은 h->0+일 때나 h->0-일 때나

평균변화율의 우극한과 좌극한의 평균이 됩니다.

대칭평균변화율이라고 부르기도 합니다.

ㄱ과 ㄷ의 경우 다음과 같은 반례를 떠올려볼 수 있으며

ㄷ의 경우 2022학년도 9월 22번도 비슷한 맥락에서 생각해볼 수 있습니다.

#논술형 5번

다항함수 조건은 때로 다음과 같은 생성함수식을 작성함으로써

최고차항의 차수와 계수를 비교하며 풀이를 시작할 수 있습니다.

(가) 조건부터 살펴봅시다.

전형적인 논리로 f(0), f'(0)값을 확인할 수 있습니다.

이제 (나) 조건을 살펴봅시다.

함수 g가 주인공이라 생각하면 g에 대해 식을 정리해볼 수 있습니다.

이는 다음 문항들에서의 논리와 정확히 일치합니다.

(순서대로)

- 2017학년도 수능 나형 30번

- 2022학년도 수능 12번

- 2023학년도 수능 22번

- 2024학년도 6월 미적분 28번

대충 아래 글 참고

https://orbi.kr/00063531273

https://orbi.kr/00063531273

https://orbi.kr/00063531273

https://orbi.kr/00063210203

https://orbi.kr/00063210203

https://orbi.kr/00063210203

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