백경린(Dost) [448748] · MS 2013 · 쪽지

2014-02-07 18:58:08
조회수 5,656

[수학의 기준] 개념을 효과적으로 공부하는 방법

게시글 주소: https://showmethescore.orbi.kr/0004324086


개념을
통해 무엇을 배워야 할까
? 


 



안녕하세요, 
'수학의 기준'의 백경린(Dost)입니다. 
지난 칼럼에 이어 이번에는 개념을 공부하는 방법에 대해 좀 더 자세히 
다뤄보고자
합니다
.
수학공부에
관한 상담을 하다보면 이런 하소연을 하는 학생들을 종종 만나게 됩니다
.

'수학을
잘하려면 무엇보다 개념을 정확히 이해하고 증명까지 할 줄 알아야 한다는 얘기를 듣고
,
교과서의
모든 개념들을 증명까지 완벽하게 독파하였습니다
.

그런데,
시험
성적에는 별다른 변화가 없습니다
.
대체
무엇이 문제인가요
? 

1.
개념

사용된 논리는 무엇인가
!
 문제는
어떤 개념에 대한 증명 과정을 이해하고 직접 설명까지 할 수 있더라도 거기에 쓰이고 있는 논리가 무엇인지를 파악하지 못했다면 실전에서는 거의
쓸모가 없다는 사실입니다
.
(학기
초이니 가능한 한 쉬운 예를 들어 보겠습니다
.)

 가령,
등차수열
{an}

일반항이
  
a
n=a1+(n-1)d 
(a
1:첫째항,
d:
공차
)
임은
누구나 쉽게 증명할 수 있는 내용입니다
.

 
하지만,
위와
같은 공식을 증명하고 이해했다고 해서 등차수열에 관한 문제들을 쉽게 해결할 수 있는 것은 아닙니다
.
실제로
변별력을 가지는 문제들을 해결하는데 사용되는 것은 단순한 증명 과정이 아니라 그 안에 담겨 있는 논리이기 때문이지요
.

등차수열의
일반항에 담겨 있는 논리란 임의의
n번째
항을
결정하는
요소

무엇인가
로 요약될 수 있습니다
.

물론
그 결정요소는 일반항의 표현에 나타나 있듯이
첫째항과
공차
입니다.
,


  
3, 5, 7, 9, 11,



같은 수열의
100번째
항을 알고 싶다면


   3+2·0,
3+2·1,
3+2
·2,
3+2
·3,
3+2
·4,



같이 각 항을 결정하는 요소로 나타내는 것이 훨씬 효과적이라는 얘기입니다
.
    a100= 3+2·99

2.

논리는 얼마나 효율적이며 보편적인가
!
 사실
어떤 대상을 그것의 결정요소로 표현하는 것은 수열뿐만 아니라

다른
수학적인 개념에서도 공통적으로 확인할 수 있는 논리입니다
.

이것은
많은 개념들을 이해하는데 그다지 많은 논리가 필요하지 않다는 뜻이기도 합니다
.

 그렇다면
별로 대단할 것도 없어 보이는
(?)
위와
같은 논리가 변별력 있는 문제를 해결하는데 얼마나 효과가 있을까요
..

2011학년도
수능
(오답률
50%)
 
2이상의
자연수
n
대하여 집합
{3(2k-1)
|
k

자연수
,
1
kn}
서로 다른 두 원소를 곱하여 나올 수 있는 모든 값만을 원소로 하는 집합을
S
하고
,
S

원소의 개수를
f(n)이라
하자
.
예를
들어
,
f(4)=5
이다
.
이때,
f(2)+f(3)+
+f(11)
값을 구하시오
.
[4
] 


 


  


                                                                                               
                                              


Sol우선,
3(2k-1)
꼴의
서로 다른 두 원소를 곱하여 나올 수 있는 값은 서로 다른 지수의 값들
(2k-1)
합과 같습니다
.
(
)
31×33=31+3
)
이때, 예시로 주어진
f(4)

값이 왜
5
되는지 분석해 봅시다
.
f(n)
규칙성이 존재한다면
f(4)
때의 규칙성이
f(2),
f(3),
,
f(11)

때도 동일하게 적용되고 있을 테니까요
.
(주어진
예시를 이용하여 규칙성을 추론하는 것은 실수를 미연에 방지할 수 있는 좋은 수단이기도 합니다
.)


n=4
,
3(2k-1)
꼴에서
지수의 값만 적어보면


  
1, 3, 5, 7


인데,
여기서
서로 다른 두 원소를 더하여 나올 수 있는 결과가
5
가지임을
효율적이고 정확하게 확인하는 방법은 무엇일까요?
또,
그 방법을
n
다른 값을 가질 때도 일반적으로 확장시킬 수 있을까요
?

 그 길이 잘 보이지
않는다면
,
앞서
설명한대로
첫째항이
1이고
공차가
2
등차수열
{2k-1}
그 결정요소로 나타내 봅시다
.
, 


  
1+2
·0,
1+2
·1,
1+2
·2,
1+2
·3


이므로,
여기서
서로 다른 두 원소를 택하여 더하게 되면


  
2
+2·(0+1),
2+2·(0+2),
,
2+2·(2+3)


공차가
항상
2이고
항의 개수가
‘(2+3)’
등차수열이 만들어진다는 것을 정확히 확인할 수 있습니다
.
같은
방식으로
n=m이면


  
2
+2·(0+1),
2+2·(0+2),
,
2+2·(m-2 + m-1)


이므로
공차가 항상 
2이고
항의 개수가
‘(2m-3)’
등차수열이 만들어지게 됩니다
.


  
f(m)=2m-3


따라서
구하는 값은
1부터
연속된
10개의
홀수의 합을 나타냅니다
.


  
f(2)+f(3)++f(11)
=102


 문제의
난이도가 높아질수록 개념 속에 담겨 있는 논리들을 이용하는 것이 얼마나 효과적인지 더욱 확실히 체감할 수 있습니다.
아무리
많은 지식과 유형을 익혀도 자신의 실력이 늘고 있다는 느낌을 받지 못한다면, 다시 개념으로 돌아가 증명 과정이나 결론 속에 담겨 있는 실제적인
논리가 무엇인지를 잘 파악해 보시기 바랍니다
.
 
그리고
다양한 문제를 통해 자신이 이해한 논리가 얼마나 효율적이며 보편적으로 사용될 수 있는지를 꼭 확인해 보아야 합니다
.

이렇게
자신의 논리를 다듬어가다 보면 어느새 전혀 다른 수준에서 문제를 이해하고 해결하는 자신을 발견하게 될 것입니다
!
 

                      ~ 읽어주셔서 감사합니다 ~

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